Hyperboly - úvod

Dnes začneme s další velkou kapitolou, s dalším velkým tématem, s další kuželosečkou. A to je hyperbola. Ta asi mate lidi nejvíc, protože se nejhůř představuje, nejhůř se črtá. Ale nebojte se, nebude to až tak složité. Pojďme si na začátek ukázat, v čem se její rovnice podobá rovnicím ostatních kuželoseček. Začneme s kruhem, protože ten jsme probírali jako první. Teď bereme kuželosečky se středem v počátku soustavy souřadnic, takže kruh má potom rovnici x na druhou plus y na druhou je rovno r na druhou. Já teď zkusím vydělit obě dvě strany rovnice r na druhou, abychom si ukázali ty podobnosti. Takže dostaneme x na druhou lomeno r na druhou plus y na druhou lomeno r na druhou je rovno jedné. Jedna a ta samá věc, jenom jinak vyjádřená. Potom jsme měli elipsu. U kruhu je tady vždy dole r na druhou, jedna a ta samá věc, protože všechny body na kruhu jsou stejně vzdálené od středu. U elipsy jsou ty body na elipse různě vzdálené od toho středu elipsy, takže tam už máme x na druhou lomeno a na druhou plus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné. Jinak je to ale obdobné, ano? Parabolu teď přeskočíme, protože ta je na tom trošku jinak, to je poněkud zajímavé. To jste už viděli v předchozích videích. Tu teď necháme na chvilku stranou. Ale když si teda vezmeme tu hyperbolu, tak hyperbola bude mít rovnici buď x na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné, nebo y na druhou lomeno b na druhou minus x na druhou lomeno a na druhou je rovno jedné. Vidíme, že to je vlastně skoro stejné jako ta rovnice elipsy. Jenom tady je minus. Anebo je to přesně naopak, ty členy jsou takové, že vždy je jeden kladný a jeden záporný. Buď je kladný ten člen s x a záporný ten člen s y, a nebo naopak je kladný ten člen s y a záporný je ten člen s x. A podle toho ta hyperbola potom taky vypadá. To si hned povíme. Jak podle těchto rovnic můžeme tu hyperbolu načrtnout? Většinou potřebujeme znát asymptoty, hned potom vysvětlím, co to ty asymptoty jsou. Ale důležité je, že ty rovnice asymptot se buď naučíte zase nazpaměť, což mi moc rádi tady opravdu nemáme, protože co se učíme nazpaměť, to nám v paměti moc dlouho nevydrží. My se to radši učíme si to odvodit, takže by nám pomohlo, kdybychom si z těchto rovnic pro hyperbolu vyjádřili y. Tak pojďme na to. Začneme s tou první, kdy je ten člen s x kladný a člen s y záporný. X na druhou lomeno a na druhou minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedné. Osamostatním si tady ten člen, takže odečtu od obou stran x na druhou lomeno a na druhou. Dostanu, že minus y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedna minus x na druhou lomeno a na druhou. Teď to asi vynásobím, obě dvě ty strany, minus b na druhou, ať se zbavím toho minus u y. Dostanu y na druhou je rovno minus b na druhou, a teď plus, protože tady je minus a minus. A napíšeme to takhle, b na druhou lomeno a na druhou x na druhou. Později uvidíte, proč jsem to takhle napsala, ale je to jedno. To x na druhou může být i tady nahoře. Jo, v tom zlomku je to fuk. Kousek se posuneme. Takže y bude rovno plus minus odmocnina. Já teď ty členy prohodím, ať to vypadá lépe. B na druhou lomeno a na druhou x na druhou minus b na druhou. Vy se teď asi zarazíte a říkáte si, no tak to je sice hezké, ale tohle teď budu odmocňovat, co teď s tím jako asi tak budu dělat. Tak tady si prozradíme takový malý fígl. Já teď vysvětlím, co jsou to ty asymptoty, teď je na to správný čas. Představme si naše osy x a y. Říkali jsme, že to je vzorec pro hyperbolu, která má střed v počátku soustavy souřadnic. Už jsem mluvila o tom, že se dostaneme vlastně k rovnicím asymptot té hyperboly. Takže asymptoty jsou nějaké přímky, můžou vypadat nějak takto. Jedna je zápornou hodnotou té druhé. A ta hyperbola, když jde do nekonečna, jsme ve velkých číslech, tak se těm asymptotám blíží, je nekonečně blízko u té přímky. Ale nikdy, nikdy ji neprotne, nikdy se jí nedotkne. Ty hyperboly buď se můžou otvírat doleva a doprava, takže budou vypadat nějak takto, moje črtání je takové, není to moc hezké. Ano. Anebo se můžou otvírat nahoru a dolů, takže nějak třeba takto. Když se nám ta hyperbola otvírá doleva a doprava, tak se nám vlastně jakoby otvírá podél osy x, takže hlavní osa té hyperboly, to je ta osa, na které leží vrcholy hyperboly, bude rovnoběžná s osou x. Naopak když se nám hyperbola otvírá nahoru a dolů, tak se vlastně otvírá jakoby podél osy y a její hlavní osa, ta na které leží vrcholy hyperboly, bude tedy rovnoběžná s osou y. Vidíte, že když jdeme do stále větších čísel, třeba tady, tak ta hyperbola se blíží, blíží, blíží, blíží té asymptotě, té přímce, ale nikdy se jí nedotkne, bude nekonečně blízko. Takže takhle to vypadá. Co se tedy vlastně děje, když my jdeme, tady si to napíšu, když se x bude blížit plus minus nekonečnu, kdy my půjdeme nekonečně daleko tady u x na jednu nebo na druhou stranu, plus minus nekonečno. Jak to bude vypadat tady? Tady bude nekonečně velké číslo, protože tu máme to x. Ale tady toto bude pořád stále nějaká konstanta. A jakákoli konstanta je proti nekonečnu úplně malinkatý kousíček. Takže tady to je zanedbatelné. O tomhle se budete bavit v limitách. Nebojte se, teď to tady nebudu podrobněji vysvětlovat. Ale když tady tohle je nekonečně velké a tohle je jen nějaký malý kousíček, tak my to vlastně můžeme zanedbat. Takže můžeme napsat, že y je přibližně, samozřejmě to není přesně, plus minus odmocnina pouze z toho prvního členu b na druhou lomeno a na druhou x na druhou. A to my už umíme odmocnit, to není problém, že? Takže y je přibližně plus minus b lomeno a krát x. Teď už jsme se k něčemu dostali. Takže jedna ta asymptota vlastně bude, tady toto bude zřejmě minus b a, b lomeno a krát x. Toto bude b lomeno a krát x, tady ty dvě asymptoty budou mít tuto hodnotu. Později si to ukážeme na příkladech, nebojte se, teď to bereme jenom teoreticky, zrychleně. Ale my stále nevíme, jestli se ty hyperboly budou otvírat nahoru a dolů nebo doleva a doprava. Vy jste si možná všimli, že jsem jeden typ hyperboly nakreslila stejnou barvou, ale o tom teď pomlčíme. Ukážeme si dva způsoby jak na to přijít. Jeden takový trošku řekněme selský rozum. Intuitivně. Pojďme se podívat na toto, co nám tady vyšlo. Y se rovná plus minus odmocnina z b na druhou lomeno a na druhou x na druhou minus b na druhou. Už jsme si řekli, když x jde do nekonečna, tak ta hyperbola se bude blížit té asymptotě, nikdy ji neprotne. Tady je nějaké nekonečno v tom případě, ale to nekonečno bude vždycky o fous menší, protože od toho budu odečítat nějakou miniaturní konstantu, oproti tomu nekonečnu. Takže když si to představím, ta hyperbola bude mít o fous menší hodnotu než ta asymptota. Když se podívám do prvního kvadrantu, který je kladný a kladný, takže tam je to nejjednodušší, tak ona vlastně bude vždycky o fous menší než ta asymptota. Takže logicky musí ležet tady, pod. Takže z toho my poznáme, že se ta hyperbola bude otvírat doleva a doprava, jakoby podél osy x. Tak. To byl jeden způsob, takový jak říkám selský rozum, intuitivně. Druhý způsob je, že si řekneme, jestli se x nebo y může rovnat nule, pokud se nám hyperbola otvírá doleva a doprava, x nikdy nemůže být rovno nule, y ano, to vidíme tady, to není problém, x se ale nikdy nemůže rovnat nule. Tak se pojďme podívat, jestli se x může rovnat nule. Většinou se podíváme do původního vzorečku, tady do tohoto, ale my se můžeme podívat i tady. Když se bude x rovnat nule, toto bude nulové, že? Tady bude nula. Takže co nám tady zbyde? Tady se x rovnalo nule. Tak co nám zbyde, tady z tohoto? Y se rovná plus minus odmocnina z minus b na druhou, jsme v reálných číslech, umíme odmocňovat jenom nezáporné hodnoty, nezáporná čísla. Tady druhá mocnina bude vždycky kladná, k tomu dám záporné znaménko, vyjde mi záporná hodnota, záporné číslo. To neumím odmocnit. Takže x se nikdy nemůže rovnat nule. V tom případě já vím, že se jedná o hyperboly, které se otvírají podél osy x, doleva a doprava, takže jsme to zjistili správně. Kdybychom si ještě chtěli dopočítat, jak by to vypadalo, kdyby y bylo rovno nule, to klidně můžeme udělat. Když y bude rovno nule. Vezmeme si toto, tak 0 bude rovna plus minus odmocnina z b na druhou lomeno a na druhou x na druhou minus b na druhou. Já ty obě dvě strany umocním na druhou. Dostanu, že nula se rovná b na druhou lomeno a na druhou x na druhou minus b na druhou, já to posunu trošku. Dostanu tady na levou stranu to b na druhou. Trošku to upravíme, takže b na druhou je rovno b na druhou lomeno a na druhou x na druhou. Tak. Vydělím obě dvě strany b na druhou, dostanu, že jedna je rovno jedna lomeno a na druhou x na druhou. Vynásobím a na druhou obě strany a dostanu, že a na druhou je rovno x na druhou. A teď budu chtít vyjádřit x, logicky. X je tedy rovno plus minus a, když y je 0, x je rovno plus minus a, takže y je rovno nule tady v těchto bodech, jsou to vlastně vrcholy té hyperboly. A budou ty body mít souřadnice a a 0 a minus a a 0. Podotýkám, a najdete tady. Takže potom hezky z toho vzorečku, z té rovnice můžete vyčíst souřadnice vrcholu té hyperboly. Výborně. Tak pojďme dál. Nebojte se, už toho nebude moc. Pojďme na druhou možnost. Takže když ten člen s x je kladný, hyperboly se otvírají doprava a doleva, takže opačný případ, když bude kladný ten člen s y, měly by se otvírat nahoru a dolů. Logicky. Pojďme si to ale dokázat. Většinou neděláme nic bez toho, aniž bychom si to dokázali. Pojďme si zase vyjádřit y, y na druhou lomeno b na druhou minus x na druhou lomeno a na druhou je rovno jedné. Osamostatníme tady y na druhou lomeno b na druhou je rovno jedna plus x na druhou lomeno a na druhou. Vynásobím to b na druhou obě dvě strany, y na druhou je rovno tentokrát plus b na druhou plus b na druhou lomeno a na druhou x na druhou, y bude tedy rovno plus minus odmocnina, zase přehodím ty členy, ať to mám jako minule, b na druhou lomeno a na druhou x na druhou plus b na druhou. Uděláme úplně obdobnou věc. Takže jak to bude vypadat, když se x bude blížit nekonečno. Zase jedeme do u x do plus minus nekonečna, tak jak jsme si to vysvětlovali, že si to můžeme představit. Takže opět tady máme nějaké nekonečno a tady máme zase jenom nějakou konstantu, tu můžeme opět a zase zanedbat. Takže potom nám tam zbyde, že y je přibližně plus minus odmocnina z b na druhou lomeno a na druhou x na druhou, takže y je přibližně plus minus b lomeno a krát x. Dostali se ke stejným asymptotám, jak vidíte. Takže to je v pořádku. Ale tentokrát tady máme plus. Máme tady nějaké nekonečno plus ještě nějaká hodnota, takže když se na to takhle podívám, tak třeba tady v tom prvním kvadrantu ta hyperbola bude mít o něco větší hodnotu než ta asymptota, takže bude logicky tady nad tou asymptotou. Takže v tomto případě by se x mohlo rovnat nule. U této hyperboly naopak y by se nule rovnat nemohlo. Pojďme se podívat, jak jsem říkala, že si to můžeme ještě ukázat vždycky na té původní rovnici. Když máme hyperboly, které se otvírají nahoru, nahoru a dolů, tak x může být rozhodně 0, ale y nikdy nemůže být 0. Tak se pojďme podívat, jestli tomu tak opravdu v tomto případě je. Kdyby x bylo 0. Tady ten člen tu nebude, bude tu 0 a bude jenom y na druhou lomeno b na druhou je rovno 1. To není problém, to si dopočítáme. No dobře. A kdyby bylo y rovno nule, máme tady ten vzoreček, tu rovnici. Kdyby y bylo rovno nule, napíšu to tady, tak tady ten člen tu nebude, tak já dostanu minus x na druhou lomeno a na druhou je rovno jedné. Když tu vynásobím obě dvě strany a na druhou, dostanu, že minus x na druhou je rovno a na druhou. Tady to bude kladná hodnota, toto bude kladná hodnota, jenže tady to minus mi z toho udělá tady zápornou. Jedna záporná hodnota se nikdy nemůže rovnat kladné v reálných číslech. Takže to nejde, y se opravdu nemůže rovnat nule v tomto případě. Takže jsme to zase spočítali správně, že u hyperbol, které se otvírají jakoby podél osy y se nikdy nebude y rovnat nule, nejde to. Takže jsme si ukázali, že opravdu když je kladný v té rovnici ten člen s x, tak se hyperboly otvírají doprava a doleva, jakoby podél osy x, když si to tak chcete představit. Pokud je tu kladný člen s y, tak se otvírají jakoby podél osy y, nahoru a dolů. Tak. Bylo to dlouhé video, bylo toho hodně, bylo to teda velmi abstraktní, neměli jsme žádné konkrétní hodnoty, ale vůbec se nebojte, budeme mít další a další videa a tam si to všechno ještě hezky ukážeme. Já myslím, že už to dneska stačilo.