Poznej kuželosečku podle rovnice: hyperbola

Máme tady další případ toho, že máme zadanou rovnici a my máme poznat na základě tohoto, co to je za kuželosečku a potom ji i načrtnout do grafu. Ideální by bylo, abychom dostali na levou stranu všechny členy s x a s y a napravo si nechali konstanty. Tak pojďme na to. A rovnou už dáme k sobě i členy s y a členy s x zvlášť. Takže tady bude 4y na druhou minus 16y. Tedy si ještě nechám na něco místo. Minus 25x na druhou minus 50x. Opět si nechám na něco místo. A necháme tady sto devítku na pravé straně, rovná se sto devět. Vidím, že tu mám x i y na druhou, oba dva tu máme v kvadratických členech, takže to nebude parabola. Vidím, že tu máme rozdílné koeficienty u nich, takže to nebude kružnice. A mám jeden ten člen kladný a jeden záporný, takže to nebude elipsa a bude to tedy hyperbola. Už víme, co to bude. A co teď s tím dál uděláme? Jednoduše, už poněkolikáté, doplníme si na čtverec u x i u y a potom už si to upravíme na tu středovou rovnici, ze které my už umíme vyčíst všechno, co potřebujeme. Doplnění na čtverec budu dělat rychle. Pokud vám to nic neříká, koukněte na nějaká videa, která na to už máme zpracovaná. Ještě tady máme koeficienty 4 a 25, tak by bylo fajn si to zkusit vytknout, pokud to jde. A tady dostaneme koeficienty 1. Vidím, že to jde, tak pojďme na to. 4 krát y na druhou minus 4y. Tady bude něco dalšího, minus 25x na druhou, takže tady je minus 25, takže plus dvě x, tady něco bude, rovná se 109, y na druhou minus čtyři y, vezmu si polovinu tohoto koeficientu, to je 2, umocním na druhou, takže plus 4. To samé udělám tady, polovina tohoto koeficientu je jedna, na druhou, to je plus 1, ale něco jsem udělala s levou stranou rovnice, takže to samé musím udělat i s pravou stranou rovnice. Tady jsem ale nepřičetla pouze čtyři, ale čtyři krát čtyři, takže vlastně tady je plus 16. Takže tady taky plus 16 a tady jsem nepřičetla jedničku a naopak jsem odečetla 25, takže tady bude minus 25. To samé na pravé straně rovnice. Jinak by nám ta rovnost neplatila. Pojďme dál. Tady bude 4 krát, toto je vlastně y minus 2 to celé na druhou, minus 25 krát, toto je x plus jedna to celé na druhou. To se rovná 109 plus 16 je 125 minus 25 je 100. Tady chci dostat jedničku, abych to dostala do toho známého tvaru rovnice, takže to vydělím stem. Dostanu tady 4 děleno stem, to je jako jedna děleno dvaceti pěti, takže tady bude y minus dva to celé na druhou lomeno dvaceti pěti, tady minus 25 lomeno stem, to je jako jedna lomeno čtyřmi, takže x plus jedna to celé na druhou lomeno čtyřmi je rovno jedné. A teď vidíme, že opravdu je to rovnice hyperboly, tak jak ji známe, takže jsme to tady na začátku určili správně podle těch našich indicií. A teď už nám nezbývá nic jiného, než to teda načrtnout do toho grafu. Střed máme v bodě, to už známe, minus jedna, protože tady když bude x minus jedna, tak tento celý člen je nulový. A y-ová souřadnice bude 2 ze stejného důvodu. Takže minus 1 a 2. Teď ještě musíme spočítat směrnice asymptot, na to je i vzoreček, ale lepší je si to spočítat, ne si to bezhlavě pamatovat. A asymptoty nejlépe spočítáme z neposunuté hyperboly, že si představíme tuto hyperbolu jako kdyby měla střed v počátku soustavy souřadnic. A potom už jenom ty asymptoty posuneme. Takže to napíšu jako neposunutou hyperbolu takto, minus x na druhou lomeno čtyřmi je rovno jedné. Vyjádřím si y, to bude x na druhou lomeno čtyřmi plus jedna, vynásobím 25, dostanu y na druhou je rovno 25 čtvrtin x na druhou plus 25, takže y je rovno plus minus odmocnina z toho celého, to opíšu. Už jsme to dělali několikrát, vezmu to jenom hopem. Představíme si, že x se blíží plus minus nekonečnu, protože ty asymptoty jdou do nekonečna. A v nekonečnu se nám ten graf hyperboly nekonečně blíží těm asymptotám, ale nikdy se jich nedotkne. Takže když x bude plus minus nekonečno, tak toto bude nějaká obrovská hodnota. A toto bude jen takový zanedbatelný kousíček. Takže my se tady rozhodneme, a můžeme to tak udělat, že ho tady pro teď zanedbáme. A můžeme říct, že y, když x půjde do plus minus nekonečna, tak y bude přibližně rovno pouze tady tomuto, protože toto v té chvíli nemá vůbec žádnou váhu, takže to bude plus minus odmocnina pouze z toho prvního, 25 čtvrtin x na druhou a to je přibližně rovno plus minus 5 polovin x. To jsou směrnice našich asymptot, ale pozor, ty asymptoty se budou protínat v tom středu minus 1 a 2, tady v té posunuté hyperbole. Pojďme črtat. Asymptoty, střed minus 1 a 2. To je tady. Směrnice plus minus 5 polovin x, když se posunu o 2 u x jdu o pět u y, ať už do plusu do minusu, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5. Načrtneme. Pokusím se co nejpřesněji, jedna asymptota, druhá asymptota, ale ještě nevíme, jestli se ta hyperbola otvírá doleva a doprava, podél osy x, nebo nahoru a dolů, podél osy y. Na to už máme několik způsobů, vy už to určitě všechno znáte, jenom to rychle připomenu. Buď si budete pamatovat, že když máme tady ten člen s y kladný, tak se to otvírá jakoby podél osy y, hlavní osa té hyperboly je rovnoběžná s osou y, takže se to otvírá nahoru a dolů. Pokud si to nechceme pamatovat, tak si to nějak odvodíme. Podíváme se, jestli jeden z těch členů může být nulový. Když bychom si řekli, že bude nulový ten člen s x, tak to vypadá, že by to celkem mohlo fungovat. Tak to zkusíme, když toto bude nulové, x se bude rovnat minus 1, takže když x bude minus jedna, tak nám tam zbyde y minus 2 to celé na druhou lomeno dvaceti pěti je rovno jedné. Takže y minus 2 na druhou je rovno dvaceti pěti. A když odmocním obě dvě strany, dostanu, že y minus 2 má být rovno plus minus 5, takže buď je y minus 2 rovno 5, v tom případě je y rovno 7, anebo y minus 2 je rovno minus pěti, takže y je minus 3. Takže my teď víme, že na naší hyperbole leží body minus jedna a 7 a bod minus jedna a minus 3, to jsou vlastně vrcholy té naší hyperboly. Tak si je tam pojďme zakreslit. Minus 1 a 7. To je tady. Minus jedna a minus 3, to je tady. My víme, že hyperbola se svých asymptot nikdy ani nedotkne, natož pak aby je nějak protnula. Takže když vidíme, že ty body jsou tady, tak víme, že se ta hyperbola bude otvírat tady, tedy nahoru a dolů. Ještě máme jeden způsob, který už jsme si taky ukazovali. Podívám se tady. A vidím, že vždycky to bude toto, i v tom nekonečnu, my jsme tady to zaokrouhlili, tento člen, ale vždycky tady bude nějaké plus 25. Když bych se podívala do prvního kvadrantu, který je kladný a kladný, tak by ta hyperbola měla vždy o fous vyšší hodnotu než ta asymptota, takže by byla vždycky o kousek nad ní, tak si to můžu taky představit, byla by kousek nad ní, takže by se otevírala tady. To je ten třetí způsob. A teď už si tu hyperbolu můžu prostě a jednoduše načrtnout. Takže bude vypadat nějak takto. Tohle to je hyperbola zadaná touto rovnicí. Tu jsme si upravili, doplnili na čtverec, dostali jsme z toho středovou rovnici té hyperboly a z toho už jsme si vyčetli všechno potřebné. A pak jsme si tu hyperbolu načrtli. A máme hotovo.