Opakování počtu řešení soustavy lineárních rovnic

Soustava lineárních rovnic má obvykle jedno řešení, ale někdy nemá žádné řešení (rovnoběžné přímky) nebo má nekonečně mnoho řešení (totožné přímky). V tomto článku si zopakujeme všechny tři případy.

Chceš se o počtu řešení soustavy lineárních rovnic dozvědět více? Podívej se na toto video.

Příklad soustavy s jediným řešením

Chceme určit počet řešení této soustavy lineárních rovnic:

\begin{aligned} y & = - 6 x + 8 \\ 3 x + y & = - 4 \end{aligned}

Rovnice přepíšeme do směrnicového tvaru:

\begin{aligned} y & = - 6 x + 8 \\ y & = - 3 x - 4 \end{aligned}

Protože směrnice jsou různé, přímky se musí protínat. Zde jsou jejich grafy:

Protože se přímky protínají v jednom bodě, soustava rovnic reprezentujících tyto přímky má právě jedno řešení.

Příklad soustavy s žádným řešením

Chceme určit počet řešení této soustavy lineárních rovnic:

\begin{aligned} y & = - 3 x + 9 \\ y & = - 3 x - 7 \end{aligned}

Aniž bychom kreslili grafy těchto rovnic, můžeme si povšimnout, že obě přímky mají směrnici rovnou

- 3

. To znamená, že musí být rovnoběžné. Protože průsečíky těchto přímek s osou

y

jsou různé, víme, že jde o dvě různé přímky neležící na sobě.

Tato soustava rovnic nemá žádné řešení.

Příklad soustavy s nekonečně mnoha řešeními

Chceme určit počet řešení této soustavy lineárních rovnic:

\begin{aligned} - 6 x + 4 y & = 2 \\ 3 x - 2 y & = - 1 \end{aligned}

Zajímavé je, že když druhou rovnici vynásobíme

- 2

, dostaneme první rovnici:

\begin{aligned} 3 x - 2 y & = - 1 \\ - 2 (3 x - 2 y) & = - 2 (- 1) \\ - 6 x + 4 y & = 2 \end{aligned}

Jinými slovy, rovnice se sobě rovnají a mají ten samý graf. Jakékoliv řešení jedné rovnice bude zároveň i řešením druhé rovnice, takže tato soustava má nekonečně mnoho řešení.

Cvičení

Příklad 1

Kolik řešení má následující soustava lineárních rovnic?

\begin{aligned} y & = - 2 x + 4 \\ 7 y & = - 14 x + 28 \end{aligned}

Chceš se trochu víc pocvičit? Zkus tato cvičení:

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.