Derivace implicitních funkcí

Máme zadanou rovnici, či spíše vztah: x na druhou plus y na druhou rovná se 1. Po zakreslení všech bodů, co tomuto vztahu odpovídají, dostanu jednotkovou kružnici. V tomto videu si ukážeme, jak určit sklon tečny v libovolném bodě na této kružnici. Možná vás napadlo, že taková kružnice není grafem funkce, každému x odpovídají dvě y. Instinkt by nám mohl radit rozdělit kružnici na dvě oddělené funkce: y by se rovnalo kladné odmocnině z jedné minus x na druhou, a y by se rovnalo záporné odmocnině z jedné minus x na druhou, obě bychom odděleně zderivovali, a dostali tak sklony obou tečen pro jakékoli x. Dnes si však ukážeme, jak derivaci nepřímo provést pomocí pravidla o složené funkci, abych nemusel takto přímo definovat dvě oddělené funkce. Uděláme to, že zderivujeme obě strany a použijeme pravidlo o složené funkci. A jelikož přímo nedefinujeme funkci f(x) a nehledáme derivaci z f(x), této aplikaci pravidla o složené funkci říkáme implicitní derivace. Jen mějte napříč celým videem na paměti, že je to použití pravidla o složené funkci. Pojďme zderivovat obě strany. Levá strana je derivace x na druhou plus y na druhou, podle x. To se bude rovnat derivaci pravé strany, což je 1, podle x tak jako nalevo. Derivovat součet těchto dvou proměnných je to stejné jako sčítat jejich derivace, Takže tohle je derivace x druhou plus derivace y na druhou, obojí podle x. Když derivuji 1 podle x, nemění se, zůstává konstantní. Takže derivace bude 0. Tady první sčítanec jsme viděli mnohokrát, rovná se to 2x na prvou. Druhý sčítanec je zajímavější. Derivace y na druhou podle x. Hlavní je si uvědomit, že tady můžeme uplatnit pravidlo o složené funkci. Počítáme derivaci výrazu podle x, což je podle pravidla o složené funkci: derivace y na druhou podle y, mocninu můžeme brát jako funkci, krát derivace y podle x. Předpokládáme, že y není konstanta, že se jeho hodnota s x mění. Takže derivujeme y na druhou podle y podle pravidla o složené funkci. Derivaci y na druhou podle y násobíme derivací y podle x. Pro lepší představu vnímejte tohle jako derivaci funkce y(x) podle x. Nebo lépe, y(x) na druhou, což už máme napsané tady. Tenhle zápis lépe sedí do pravidla o složené funkci. Derivace výrazu na druhou podle tohoto výrazu krát derivace výrazu podle x. Opakuji to pořád dokola, tohle není nic jiného než pravidlo o složené funkci. Pojďme to spočítat, co máme na pravé straně? Derivace y na druhou podle y se bude rovnat 2y. A hodnotu derivace y podle x ještě neznáme, takže to sem prostě opíšu. Přepíšu to sem. Máme 2x plus derivaci y na druhou podle y, což bude 2y, krát derivace y podle x, a to celé se bude rovnat 0. Dostali jsme se k rovnici, jež má v sobě zakomponovanou derivaci y podle x. To je přesně to, co chceme, tato část vyjadřuje sklon tečny v libovolném bodě. Teď už jen zbývá vyřešit naši rovnici, jdeme na to. Jen to celé překopíruji sem doprava, abychom měli výpočet na jedné straně. Odečtu od obou stran 2x, takže derivace y podle x krát 2y se rovná minus 2x. A abychom spočítali hodnotu naší derivace, vydělíme obě strany 2y, Získáme, že se derivace y podle x rovná minus x lomeno y, dvojka se nám vykrátí. Tohle je zajímavé, nemuseli jsme definovat dvě různé funkce y, hodnotu derivace máme určenou nejen ve vztahu k x, ale zároveň také k y. Co to ale znamená? Inu, pokud bychom chtěli najít derivaci třeba v tomto bodě... Pokud je zde úhel 45°, bude bod [odmocnina z 2 lomeno 2 ; odmocnina z 2 lomeno 2], jaký je tu sklon tečny? Víme, že se bude rovnat minus x, což je minus odmocnina z 2 lomeno 2, lomeno y, což je odmocnina z 2 lomeno 2. Sklon se rovná −1, což odpovídá i grafu.