Důkaz velikosti úhlu v pravidelném čtyřstěnu

Nalevo máme elektronový (Lewisův) vzorec pro methan. A v předchozím videu jsme viděli, že tento uhlík má typ hybridizace sp3, to znamená, že atomy budou okolo uhlíku uprostřed rozmístěny tetraedricky. Je velmi obtížné zobrazit tetraedr ve dvourozměrném elektronovém vzorci, je mnohem jednodušší si jej představit takto, jako trojrozměrný kuličkový model molekuly methanu. Pokud chci zobrazit čtyři strany tetrahedru, můžu začít s první stranou spojením těchto vodíkových atomů. Takže to je první strana našeho tetraedru. Teď najdeme druhou stranu: Spojíme další tři atomy vodíku. A máme druhou stranu. A poslední dvě strany dostaneme tak, že spojím tento vodíkový atom s tímto. A nyní vidím všechny čtyři strany tetraedru. Zajímá nás také vazebný úhel. Co je vlastně vazebný úhel? Je to úhel mezi vodíkem na vrcholu, středovým uhlíkem a vodíkem tady nalevo. Ukazuje se, že ten úhel je 109,5°. A stejný je tady všude. Tento úhel je 109,5 stupňů, stejně tak všechny ostatní. Tedy sp3 vazebný úhel je 109,5°. Důkaz mi podali dva moji studenti, Anthony Grebe a Andrew Foster. Ti přišli s moc hezkým důkazem, jak ukázat, že u hybridizace typu sp3 je vazebný úhel právě 109,5°. Prohlásili, vezměme si tetraedr a dejme ho na osy xyz. Uhlík umístíme do středu. Můžeme si vybrat jakékoli čtyři body, které by reprezentovaly vodíky tetraedru, pokud splníme dvě podmínky: Každý bod, který si zvolíme pro naše vodíky, musí být stejně vzdálený od zbylých tří bodů, a zadruhé všechny body, do kterých vodíky umístíme, musí být stejně vzdáleny od středového atomu uhlíku. A pokud splníte tato dvě kritéria, máte záruku, že ty čtyři body budou tvořit tetraedr. A pokud tedy máme tetraedr v této souřadné soustavě, pojďme se podívat na první bod, tedy tento bod. A oni se rozhodli, že tento bod bude mít souřadnice √2, 1 a 0, jinými slovy: +√2 na ose x, +1 na ose y a 0 na ose z. A pro tento bod nalevo, jak chytře poznamenali, bude ve stejné rovině jako bod, o kterém jsme právě mluvili, tedy v rovině xy. Jeho souřadnice budou tedy -√2 na ose x, +1 na ose y a 0 na ose z. Teď se podíváme na vodík tady dole. Tento bod je umístěn na souřadnicích 0, -1 a +√2. A konečně, tento bod, co utíká od nás do monitoru, bude na souřadnicích 0, -1 a -√2. Znovu opakuji, že můžete zvolit jakékoli body, pokud splníte ta kritéria. Ale natočení molekuly tímto směrem nám umožní najít správný vazebný úhel. To je ten vazebný úhel, který chceme spočítat. A my ho dosud neznáme, ale můžeme spočítat tento úhel théta. V tomto trojúhelníku. A vím, že tato vzdálenost na ose x je rovna druhé odmocnině ze dvou. Pak nahoře na ose y je vzdálenost 1, 0 na ose z. Takže můžu spočítat, kolik je théta, protože vím, že tangens théta (tgθ) se rovná „protilehlá ku přilehlé“. Pro tento trojúhelník, který tu mám, měří protilehlá odvěsna 1, přilehlá √2. Pro spočítání théty musíme spočítat převrácenou hodnotu, 1/tangens. A vyjde mi, že tangens na -1 z 1/√2 bude 35,26°. Teď tedy znám thétu, tento úhel je 35,26°. A tím pádem je tento úhel také 35,26°. Toto bude také théta. A k nalezení vazebného úhlu nyní stačí jen vědět, že tyto tři úhly musí dát dohromady 180 stupňů, jsou všechny ve stejné rovině. Tedy k nalezení vazebného úhlu odečteme od 180° dvakrát 35,26°. A tak nám samozřejmě vyjde úhel přibližně 109,5°. Tedy znovu velké díky mým studentům za to, že mi ukázali tento důkaz.