Hlavní obsah

Kurz: Obecná chemie > Kapitola 3

Lekce 4: Elektronový obal a elektronová konfigurace

Kvantově-mechanický model atomu

Úvod do kvantově mechanického modelu atomu: uvažování o elektronech jako vlnění za použití de Broglie, rovnice Schrödinger a Heisenbergova principu neurčitosti. Elektronový spin a Stern-Gerlach experiment.

Co je potřeba si zapamatovat

Louis de Broglie přišel s myšlenkou, že částice můžeme vnímat zároveň jako vlny o vlnové délce $λ$ ‍, která je dána vzorcem:

λ = \frac{h}{m v}

Erwin Schrödinger navrhl vlnově-mechanický model, který uvažuje o elektronech jako o vlnění.
Řešením Schrödingerovy rovnice $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍ dostaneme soubor vlnových funkcí $ψ$ ‍ a jim příslušející vazebné energie $E$ ‍.
Druhá mocnina vlnové fuknce $ψ^{2}$ ‍ souvisí s pravděpodobností přítomnosti elektronů v určité části prostoru.
Atomový orbital je definovaný jako prostor, ve kterém se elektron vyskytuje s 90% pravděpodobností.
Heisenbergův princip neurčitosti nám říká, že nelze zároveň stanovit energii a polohu elektronu. To znamená, že čím více se dozvíme o poloze elektronu, tím více si zkreslíme informaci o jeho energii a naopak.
Elektrony mají vlastnost, které se říká spin, ten může nabývat dvou hodnot: nahoru a dolů.
Dva elektrony vyskytující se ve stejném orbitalu musí mít odlišný spin.

Úvod do kvantové mechaniky

"Je nutné si uvědomit, že pokud se bavíme o atomech, jazyk může být použit jen jako poezie." —Niels Bohr

Jak dojde na částice menší než atom, hmota se začne chovat velmi podivně. Některé jevy jsou tak neintuitivní, že v případě, že o nich chceme mluvit, musíme využívat symboliky a metafor—stejně jako v poezii. Co například znamená to, že se elektron chová jako částice i jako vlna? Nebo jak si vyložit to, že se elektron nevyskytuje na jednom místě v prostoru, ale je jaksi rozprostřen přes celý atom?

Pokud ti právě položené otázky připadají zvláštní, tak je to v pořádku! Slavný fyzik Niels Bohr řekl, že "Kdokoli, kdo není kvantovou teorií šokován, ji nepochopil." Pokud v tobě kvantová teorie vyvolává zmatek, buď v klidu, i sami vědci, kteří stáli u jejího vzniku a vývoje na tom byli podobně.

Začneme tím, že si stručně představíme Bohrův model atomu vodíku, první neklasický model atomu.

Bohrův model atomu vodíku

Jak jsme si pověděli v předchozím článku o Bohrově atomárním modelu, v emisních spektrech různých prvků můžeme nalézt různé diskrétní (oddělené) čáry. Následující obrázek znázorňuje emisní spektrum atomu vodíku pro viditelnou část elektromagnetického spektra.

Diskrétní hodnoty vlnových délek v emisním spektru vodíku Bohrovi napověděly, že elektrony by se v atomech se mohly kolem jádra vyskytovat jen v určitých vzdálenostech a jejich energie může nabývat jen určitých hodnot. Říkáme tedy, že energie elektronu v atomu je kvantovaná. Znamená to, že nemůže nabývat libovolných hodnot. Následující diagram Bohrova modelu zobrazuje oběžné dráhy, neboli orbity, nebo elektronové slupky, po kterých se elektron může pohybovat kolem jádra oběžné dráhy.

Na základě tohoto modelu Bohr odvodil vztah, který správně popisoval hodnoty energií, kterých elektron v atomu vodíku může dosahovat. Tyto energie se shodovaly s polohami čar ve vodíkovém emisním spektru. Bohrův model také dokázal úspěšně popsat energie elektronů v jiných jednoelektronových systémech jako je například

{He}^{+}

. Pro víceelektronové systémy však Bohrův model selhává.

Fyzici se nejprve pokoušeli Bohrův model modifikovat pro využití v komplikovanějších úlohách. Později však dospěli k závěru, že bude nutné přijít s úplně jiným modelem.

Vlnově-částicový dualismus a de Broglieho vlnová délka

Vývoj kvantové mechaniky byl ovlivněn dalším velmi důležitým konceptem zavedeným francouzským fyzikem Louisem de Brogliem. Na základě práce, kde Planck a Einstein ukázali, že světlo může vykazovat chování odpovídající částicím, de Broglie vyvinul hypotézu, že částice se rovněž mohou chovat jako vlny.

De Broglie odvodil následující rovnici, přes kterou můžeme spočítat vlnovou délku, která by odpovídala částici o hmotnosti

m

(v kilogramech,

kg

) pohybující se rychlostí

v

(

\frac{m}{s}

). Symbol

λ

označuje takzvanou de Broglieho vlnovou délku částice (v metrech). Konstanta

h

je Planckova konstanta, jež se rovná

6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}

$λ = \frac{h}{mv}$ ‍

Uvědomme si, že vlnová délka je nepřímo úměrná hmotnosti částice. Tato nepřímá úměra je důvodem, proč u běžných makroskopických objektů nepozorujeme žádné náznaky vlnového charakteru. Vlastnosti vlny se u částice projevují nejvíce v okamžiku, kdy je do její trajektorie postavena nějaká překážka nebo štěrbina o velikosti blízké de Broglieho vlnové délce. Pro částice o malých hmotnostech, jako například elektron se svými přibližně

10^{- 31}

kg, se vlnový charakter projevuje velmi významně a je původcem mnoha zajímavých jevů.

Pro ilustraci: Nejvyšší zanamenananá rychlost pro letící baseballový míček má hodnotu

46, 7 \frac{m}{s}

. Spočti de Broglieho vlnovou délku pro tento míček v případě, že měl hmotnost

0,145

kg.

Příklad 1: Výpočet de Broglieho vlnové délky pro elektron

Rychlost elektronu v atomu vodíku v základním stavu je

2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}

. Jaká je jeho de Brogliho vlnová délka, pokud je jeho hmotnost

9, 1 \cdot 10^{- 31}

kg?

Hmotnost a rychlost společně s Planckovou konstantou můžeme přímo dosadit do vzorce:

$\begin{aligned} λ & = \frac{h}{mv} \\ = \frac{6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}}{(9, 1 \cdot 10^{- 31} kg) (2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s})} \\ = 3, 3 \cdot 10^{- 10} m \end{aligned}$ ‍

Vlnová délka elektronu nám vyšla

3, 3 \cdot 10^{- 10}

metrů, je tak řádově shodná s poloměrem atomu vodíku, tedy ~

1 \cdot 10^{- 10}

metrů. Potká-li se elektron s objektem, který je rozměrově blízký jeho de Broglieho vlnové délce, například s jádrem atomu, bude se chovat jako vlna!

Vlnově-mechanický model atomu

Stojaté vlny

Velký problém Bohrova modelu je to, že vnímá elektron jako částici, kterou lze lokalizovat na oběžné kolem jádra atomu. Rakouský fyzik Erwin Schrödinger přišel s teorií, že chování elektronů v atomech lze matematicky popsat jako de Broglieho vlny. Model založený na této myšlence je znám jako vlnově-mechanický nebo kvantově-mechanický a je základem pro to, jak v moderní fyzice chápeme hmotu na atomární úrovni.

Protože se elektron v atomu může vyskytovat jenom v určitých stavech o určitých energiích, můžeme si jej do určité míry představit jako stojaté vlnění. Abychom se lépe sžili s představou elektronu jako de Broglieho vlny, projděme si stručně vlastnosti stojatého vlnění.

Se stojatým vlněním se můžeme setkat například u strunných hudebních nástrojů. Pokud brnkneš na strunu kytary, struna bude kmitat ve formě stojaté vlny, podobně jako je tomu na následující animaci.

Bodům, které při stojatém vlnění zůstávají na místě, říkáme uzly, v animaci výše jsou vyznačené červenými tečkami. Tím, že je vlna v naší animaci (nebo i struna na kytaře) z obou stran omezena, může kmitat jen s určitými vlnovými délkami, vibrace jsou v podstatě kvantovány.

Schrödingerova rovnice

Jak stojaté vlnění souvisí s elektrony v atomech?

Elektrony můžeme velmi zjednodušeně chápat jako stojaté de Broglieho vlny, kterým mohou být přiřazeny jen určité hodnoty energie. Jako de Broglieho vlny jsou elektrony chápány i v atomárním modelu, který formuloval Schrödinger. Zapeklitou matematikou, která se za Schrödingerovou rovnicí skrývá, se zabývat nebudeme, uveďme si tu ale alespoň její základní tvar:

$\hat{H} ψ = E ψ$ ‍

ψ

je vlnová funkce,

\hat{H}

je takzvaný Hamiltonův operátor a

E

je vazebná energie elektronu. Vyřešením Schrödingerovy rovnice dostaneme soubor vlnových funkcí a k nim příslušející hodnoty energií

E

V horním obrázku vidíme stojatou vlnu uspořádanou do kruhu, velikost kruhu umožňuje zařazení pěti vlnových délek. Na spodním obrázku vidíme situaci, kdy se celočíselný násobek vlnové délky neposkládá do kruhu a dojde k překryvu, to vyústí v destruktivní interferenci vlny.

Interpretovat přesný význam vlnové funkce není úplně jednoduché. Kvůli Heisenbergově principu neurčitosti nemůžeme zároveň určit pozici a energii elektronu. Elektronové energie jsou velmi důležité pro popis reaktivity atomů, proto se chemici shodli na tom, že postačí znát polohu elektronů pouze přibližně.

Jak chemici vyjadřují přibližnou polohu elektronů? Vlnové funkce, které lze spočítat ze Schrödingerovy rovnice pro jednotlivé atomy, reprezentují takzvané atomové orbitaly. Atomový orbital je definovaný jako oblast, ve které se elektron vyskytuje s 90% pravděpodobností. V následující části se podíváme na to, jak určit pravděpodobnost výskytu elektronu.

Heisenbergův princip neurčitosti zavedený fyzikem Wernerem Heisenbergem říká, že nelze zároveň stanovit hybnost a polohu částice s libovolnou přesností a rovněž nelze libovolně přesně stanovit její energii v konkrétním čase. Znamená to, že čím přesněji naměříme hybnost částice, tím méně přesně známe její polohu a naopak. Matematicky tuto skutečnost můžeme vyjádřit následujícím způsobem:

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{h}{4 π}

Kde

Δ x

představuje nejistotu ve stanovení polohy částice,

Δ p

je nejistota ve stanovení hybnosti částice a

h

je Planckova konstanta,

6,626 \cdot 10^{- 34} J \cdot s

. Z nerovnice vidíme, že

Δ x

Δ p

si jsou vzájemně nepřímo úměrné, což znamená, že pokud nejistota v poloze roste, nejistota v hybnosti klesá a naopak.

Nikdy tedy nemůžeme zároveň znát polohu elektronu a jeho energii.

Orbitaly a hustota pravděpodobnosti

Funkční hodnota vlnové funkce

ψ

v určitém bodě prostoru —

x, y, z

—je úměrná amplitudě de Broglieho vlny elektronu v tom samém bodě. Vlnové funkce jsou však často komplexními funkcemi obsahující

i = \sqrt{- 1}

a amplituda de Broglieho vlny nemá žádný fyzikální význam.

Na druhou stranu druhá mocnina vlnové funkce

ψ^{2}

je mnohem užitečnější, protože úzce souvisí s pravděpodobností nalezení elektronu v určítém prostoru o určité velikosti, například kolem atomu. Funkci

ψ^{2}

pak nazýváme hustotou pravděpodobnosti.

Hustotu pravděpodobnosti pro elektron lze vizualizovat mnoha způsoby.

ψ^{2}

si například můžeme zobrazit ve speciálním grafu, kde jsou různé pravděpodobnosti nalezení elektronu v určitém místě prostoru zakresleny pomocí různých odstínů barev, čím větší je pravděpodobnost nalezení elektronu v určitém místě, tím sytější barvou je dané místo vybarveno. Na obrázku níže můžeme vidět pravděpodobnostní distribuce pro sférické orbitaly 1s, 2s, a 3s.

Všimni si, že 2s a 3s orbital obsahuje takzvané nodální plochy, tedy oblasti s nulovou pravděpodobností nalezení elektronu. Nodální plochy jsou analogií uzlových bodů u výše diskutovaného stojatého vlnění. Různé barvy v zobrazení 2s a 3s orbitalů značí různá znaménka vlnové funkce, což je velmi důležité zahrnout do úvah o chemických vazbách.

Dalším způsobem, jak si vizualizovat pravděpodobnosti výskytu elektronu v atomu, je vykreslení takzvané radiální hustoty pravděpodobnosti v závislosti na vzdálenosti

r

od jádra.

Radiální hustota pravděpodobnosti vyjadřuje pravděpodobnost nalezení elektronu v tenké kulové slupce se středem v atomovém jádru o poloměru

r

. Na obrázku vlevo můžeme vidět závislosti pro orbitaly 1s, 2s a 3s. Všimni si, že tím, jak se zvyšuje energie orbitalu (od 1s přes 2s do 3s), se zvyšuje i pravděpodobnost nalezení elektronu dále od jádra.

Když vyřešíme Schrödingerovu rovnici, dostaneme

ψ

, které odpovídá jednomu orbitalu. Každému orbitalu přísluší sada čtyř kvantových čísel, které lze odvodit ze Schrödingerovy rovnice. Tato čtyři kvantová čísla fungují jako adresa, která definuje, v jakém orbitalu je elektron umístěn. Kvantová čísla, o kterých hovoříme, jsou:

Hlavní kvantové číslo $n$ ‍ souvisí s energií orbitalu. O orbitalech se stejným $n$ ‍ říkáme, že jsou ve stejné elektronové slupce.
Vedlejší kvantové číslo $l$ ‍ souvisí s tvarem orbitalu. Orbitalům se stejným $n$ ‍ ale různým $l$ ‍ říkáme podslupky.
Magnetické kvantové číslo $m_{l}$ ‍ souvisí s prostorovou orientací orbitalu.
Spinové kvantové číslo $m_{s}$ ‍ značí spin elektronu. Elektronu mohou mít spin nahoru $(m_{s} = + \frac{1}{2})$ ‍ nebo spin dolů $(m_{s} = - \frac{1}{2})$ ‍.

Pro podrobnější představu o tom, jak přiřazujeme kvantová čísla, zhlédni toto video o kvantových číslech a toto video o kvantových číslech prvních čtyř podslupek.

Tvary atomových orbitalů

Zatím jsme se zabývali pouze orbitaly s, které majít kulový tvar a u kterých je pravděpodobnostní rozdělení elektronů dáno zejména vzdáleností od jádra atomu

r

. U jiných typů orbitalů jako je p,d a f bude pravděpodobnostní rozdělení záviset také na úhlech, které popisují polohu elektronu vůči jádru ve sférických souřadnicích. To vede k zajímavým tvarům orbitalů, třeba takovým, jaké jsou na následujícím obrázku.

Orbitaly p mají tvar jakési prostorové osmičky, také se říká činky, která je orientovaná podél jedné z os—

x, y, z

. Orbitaly d bychom mohli popsat jako prostorový čtyřlístek, který můžeme orientovat čtyřmi různými způsoby, vyjímkou je jeden typ orbitalu d, který spíše vypadá jako orbital p dokola obklopeným prstencem, také se říká donutem. Orbitaly f se zde raději pokoušet popisovat nebudeme.

Elektronový spin: Sternův-Gerlachův experiment

Poslední pojem z kvantového světa, o kterém si něco povíme, bude elektronový spin. V roce 1922 dva němečtí fyzikové Otto Stern a Walther Gerlach přišli s hypotézou, že elektrony se chovají v podstatě jako malé magnetky, každý se svým jižním a severním pólem. Aby svou hypotézu otestovali, vysílali atomy stříbra skrze magnetické pole.

Podle klasické fyziky by se paprsek měl stáčet podle toho, jak jsou orientovány magnetické dipóly částic, které je tvoří. Typický magnetek můžeme vzhledem k magnetickému poli orientovat prakticky libovolně, takže předpokládaný výsledek experimentu bylo, že atomy budou na stínítko dopadat chaoticky a rovnoměrně. Místo toho ale Stern s Gerlachem pozorovali, že atomy na stínítko dopadají do dvou oblastí. Podívej se na toto fascinující video, které modeluje právě popsaný experiment v akci!

Závěrem těchto experimentů je, že narozdíl od běžného magnetu, se elektrony mohou v magnetickém poli orientovat jen dvěma způsoby, buď ve směru intenzity pole nebo proti ní. Pro tento jev klasická fyzika nemá vysvětlení! Vědci této vlastnosti elektronů říkají elektronový spin: každý elektron může mít buď spin nahoru nebo spin dolů. Elektrony v orbitalech běžně graficky znázorňujeme pomocí šipek, které míří nahoru

↑

nebo dolů

↓

Důsledkem existence spinu je to, že libovolný orbital může obsahovat maximálně dva elektrony a tyto elektrony se musí lišit svým spinem. Tomuto pravidlu se říká Pauliho vylučovací princip.

Shrnutí

Louis de Broglie přišel s myšlenkou, že částice můžeme vnímat zároveň jako vlny o vlnové délce $λ$ ‍, kterou můžeme spočítat z následujícího vztahu:

$λ = \frac{h}{m v}$ ‍

Erwin Schrödinger navrhl vlnově-mechanický model, který uvažuje o elektronech jako o vlnění.
Řešením Schrödingerovy rovnice $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍ dostaneme soubor vlnových funkcí $ψ$ ‍ a jim příslušející vazebné energie $E$ ‍.
Druhá mocnina vlnové fuknce $ψ^{2}$ ‍ souvisí s pravděpodobností přítomnosti elektronů v určité části prostoru.
Atomový orbital je definovaný jako prostor, ve kterém se elektron vyskytuje s 90% pravděpodobností.
Heisenbergův princip neurčitosti nám říká, že nelze zároveň stanovit energii a polohu elektronu. To znamená, že čím více se dozvíme o poloze elektronu, tím více si zkreslíme informaci o jeho energii a naopak.
Elektrony mají vlastnost, které se říká spin, ten může nabývat dvou hodnot: nahoru a dolů.
Dva elektrony vyskytující se ve stejném orbitalu musí mít odlišný spin.

Zdroje

Tento text byl připraven na základě následujících článků:

“Quantum Mechanics and Atomic Orbitals” from UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
"Representations of Orbitals" from UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
"Electronic Orbitals" from UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0

Upravený článek je licencován podle CC-BY-NC-SA 4.0 licence.

Video of the Stern-Gerlach effect je z Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.

Další odkazy

Zumdahl, S.S., and S. A. Zumdahl. Atomic Structure and Periodicity. In Chemistry, 290-294. 6th ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Company, 2003.

Kotz, J. C., P. M. Treichel, J. R. Townsend, and D. A. Treichel. The Modern View of Electronic Structure: Wave or Quantum Mechanics. In Chemistry and Chemical Reactivity, Instructor's Edition, 234-237. 9th ed. Stamford, CT: Cengage Learning, 2015.

Bližší vysvětlení Sternova-Gerlachova experimentu s mnoha přehlednými obrázky je na http://www.thephysicsmill.com/2015/02/22/the-stern-gerlach-experiment/.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.