If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Co to je Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

V plynu je ze všech skupenství největší tepelný pohyb částic. Tyto částice se pohybují různou rychlostí. My si zde ukážeme, jakým způsobem se o tom dá přemýšlet.

Co to je Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

Molekuly vzduchu se kolem nás nepohybují všechny stejnou rychlostí, a to i přesto, že říkáme, že vzduch má v daném okamžiku jednu určitou hodnotu teploty. Některé molekuly vzduchu se budou pohybovat extrémně rychle, některé se budou pohybovat pomaleji a některé molekuly vzduchu se sotva pohnou. Z toho důvodu není úplně vhodné klást otázky jako je "Jaká je rychlost molekuly vzduchu v plynu?" vzhledem k tomu, že molekula v plynném skupenství může mít téměř jakoukoliv rychlost.
Takže místo abychom se ptali na konkrétní molekulu plynu, pokládáme otázky jako: "Jaká je distribuce rychlosti u molekul plynu při určité teplotě? V druhé polovině 19. století přišli James Clerk Maxwell a Ludwig Boltzmann na odpověď na tuto otázku. Jejich zjištění bývá označováno jako Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení , protože ukazuje, jak jsou rozděleny rychlosti molekul pro ideální plyn. Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení bývá často znázorněno následujícím grafem.
Osa y na grafu Maxwellova-Boltzmannova rozdělení nám může odhalit počet molekul, které mají danou rychlost. Čím je tedy y-ová hodnota vyšší, tím více molekul se pohybuje rychlostí danou x-ovou souřadnicí.
Všimni si, že graf není symetrický. V oblasti vyšších rychlostí je graf poněkud delší a pokračuje dál až k extrémně velkým rychlostem. Vlevo však graf musí končit v nule (protože molekula nemůže mít rychlost menší než nula).
Skutečná matematická rovnice pro Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení je poněkud zastrašující a na této úrovni poznání se obejdeme bez ní.

Co je střední kvadratická hodnota rychlosti?

Možná si myslíš, že rychlost odpovídající maximu grafu Maxwellova-Boltzmannova rozdělení je průměrná rychlost molekuly v plynu, ale není tomu tak. Rychlost umístěná přímo v maximu je start color #e84d39, start text, n, e, j, p, r, a, v, d, e, with, \v, on top, p, o, d, o, b, n, e, with, \v, on top, j, s, with, \v, on top, ı, with, \', on top, space, r, y, c, h, l, o, s, t, space, end text, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39. Znamená to, že když náhodně vybereme molekulu daného plynu, bude mít s největší pravděpodobností tuto rychlost.
start color #11accd, start text, P, r, u, with, \r, on top, m, e, with, \v, on top, r, n, a, with, \', on top, space, r, y, c, h, l, o, s, t, space, end text, v, start subscript, p, r, u, with, \mathring, on top, m, end subscript, end color #11accd molekul v plynu se ve skutečnosti nachází na křivce napravo od maxima. Důvodem toho je, že pravá část "kopce" křivky Maxwellova-Boltzmannova rozdělení od maxima je delší než levá. Tato delší část posouvá průměrnou hodnotu doprava.
Další užitečná veličina je známá jako start color #1fab54, start text, s, t, r, with, \v, on top, e, d, n, ı, with, \', on top, space, k, v, a, d, r, a, t, i, c, k, a, with, \', on top, space, r, y, c, h, l, o, s, t, space, end text, v, start subscript, k, end subscript, end color #1fab54. Tato veličina je zajímavá, protože její definice je skryta v samotném názvu. Střední kvadratická rychlost je druhá odmocnina střední hodnoty součtu druhých mocnin rychlostí. Střední hodnota v tomto případě značí průměr. Matematické vyjádření vypadá následovně
v, start subscript, k, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, N, end fraction, left parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 3, end subscript, squared, plus, point, point, point, right parenthesis, end square root
Může se zdát, že tento způsob hledání průměrné hodnoty je zbytečně složitá, protože jsme nejdříve všechny rychlosti umocnili a později zase vše odmocnili. Mohli bychom si říct „Proč nestačí průměrná rychlost?" Nezapomeň však na to, že rychlost je vektorová veličina a má tedy směr. Průměrná rychlost molekul plynu je nulová, protože existuje stejný počet molekul plynu směřujících doprava (+ rychlost) jako doleva (- rychlost). To je důvod, proč na rychlosti umocňujeme na druhou, tím jsou všechny kladné. Takže tato střední hodnota (tj. průměrná hodnota) nemůže být nulová. Fyzici často tento trik používají k nalezení průměrných hodnot veličin, které mohou nabývat kladné a záporné hodnoty (např. u napětí a proudu v obvodech se střídavým proudem).
Je třeba poznamenat, že všechny tyto tři veličiny (start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, start color #11accd, v, start subscript, p, r, u, with, \mathring, on top, m, end subscript, end color #11accd a start color #1fab54, v, start subscript, k, end subscript, end color #1fab54 mají poměrně vysoké hodnoty, dokonce i pro plyn při pokojové teplotě. Například plynný neon má při pokojové teplotě (293, start text, space, K, end text) hodnoty nejpravděpodobnější rychlosti, průměrné rychlosti a střední kvadratické rychlosti:
start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, equals, 491, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (nebo také 1100, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis
start color #11accd, v, start subscript, p, r, u, with, \mathring, on top, m, end subscript, end color #11accd, equals, 554, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (nebo také 1240, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis
start color #1fab54, v, start subscript, k, end subscript, end color #1fab54, equals, 602, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (or 1350, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction, right parenthesis

Co představuje plocha pod křivkou Maxwellova-Boltzmannova rozdělení?

Osa y Maxwellova-Boltzmannova rozdělení udává počet molekul vztažený na jednotku rychlosti. Obsah plochy pod celou křivkou se rovná celkovému počtu molekul v plynu.
Zahřejeme-li plyn na vyšší teplotu, maximum na grafu se přesune doprava (protože se zvýší průměrná rychlost molekul). Když se graf posouvá doprava, jeho výška musí klesat, aby se pod křivkou udržela stejně velká celková plocha. Analogicky se maximum grafu posune doleva, pokud budeme teplotu snižovat. Když se graf posouvá doleva, musí se jeho výška zvětšit, aby se pod křivkou udržela stejně velká plocha. To lze vidět na níže znázorněných křivkách, které představují vzorek plynu (s konstantním množstvím molekul) při různých teplotách.
Jak se plyn ochladí, graf se ještě více zúží a zvýší. Stejně tak bude graf čím dál nižší a širší, když se plyn zahřeje. Je nutné, aby velikost plochy pod křivkou (tzn. celkový počet molekul) zůstala konstantní.
Pokud by do vzorku byly přidány další molekuly, celková plocha pod křivkou by se zvýšila. Podobně pokud by molekuly byly ze vzorku odebrány, celková plocha pod křivkou by se snížila.

Jak vypadají řešené příklady na Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

Příklad 1: Chlazení plynu

Plynný dusík, jež je tvořen z dvouatomových molekul, je v uzavřené nádobě. Tuto nádobu ponoříme do ledové lázně dokud se teploty nevyrovnají.
Co se stane s následujícími veličinami když se plyn ochlazuje? (zvol dvě správné veličiny)
Vyber všechny správné odpovědi.
Vyber všechny správné odpovědi.

Příklad 2: Změna v plynu

Plyn má následovné rozdělení rychlostí:
Která z následujících následných změn by mohla způsobit změnu grafu z křivky 1 na křivku 2, jak je znázorněno níže?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď: