Hlavní obsah

Fyzikální chemie

Kurz: Fyzikální chemie > Kapitola 2

Lekce 1: Ideální plyn

Co je to ideální plyn?

Zjisti, jak jsou v ideálním případě mezi sebou provázány tlak, objem, teplota a látkové množství plynu.

Co je to ideální plyn?

S plyny je to poněkud komplikované. Je to vlastně takové uskupení miliard molekul, které jsou plné energie, proto na sebe různě náhodně naráží. Kromě srážek na sebe molekuly navíc působí i různými dalšími interakcemi. Jelikož je všechno tohle těžké popsat, přišli vědci s jistým zjednodušením, kterému se říká ideální plyn. Pomocí tohoto modelu jsme schopni předvídat chování reálného plynu. Jaká zjednodušení platí pro molekuly v ideálním plynu?

Molekuly ideálního plynu spolu nijak neinteragují. Jediné interakce mezi molekulami ideálního plynu jsou vzájemné pružné srážky a pružné srážky se stěnami nádoby.
[Co je to pružná srážka?]
Molekuly ideálního plynu sami o sobě nemají žádný objem. Objem každého plynu je dán faktem, že se jeho molekuly rozprostřou do velkého prostoru. Samotná velikost molekul v ideálním plynu je považována za nulovou.

Tohle ale možná zní až moc zjednodušeně. Pravdou je, že žádný plyn z reálného světa není zcela ideální, ale spousta plynů se svým chováním blíží konceptu ideálního plynu, a proto je pro nás tolik užitečný. Obzvláště při pokojové teplotě a atmosferickém tlaku se většina plynů chová téměř ideálně.

Pokud je však tlak plynu příliš vysoký (představme si třeba stokrát větší než běžný atmosferický tlak), nebo teplota je příliš nízká (minus, 200, start text, space, °, C, end text), jsou odchylky od ideálního chování příliš velké, než abychom tento model mohli použít. Více o reálných plynech se dozvíš v tomto článku.

Co je stavová rovnice ideálního plynu?

Tlak, p, objem V a teplota T ideálního plynu jsou propojeny pomocí takzvané stavové rovnice ideálního plynu. Jelikož je tento vztah relativně jednoduchý, používáme ho vždy, pokud je to možné.

p, V, equals, n, R, T

přičemž p je tlak plynu, V objem, který plyn zabírá, T je teplota plynu, R univerzální plynová konstanta a n počet molů plynu.

[Co je to mol?]

To nejtěžší na stavové rovnici ideálního plynu je dávat si pozor na použité jednotky. V Česku nejčastěji používáme plynovou konstantu R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction. K té potom potřebujeme tlak, p, v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, space, end text, P, a, objem, V, v m, cubed, a teplotu, T, v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, end text, K.

Můžeme se ale také setkat s používáním univerzální plynové konstanty ve tvaru R, equals, 0, comma, 082, start fraction, l, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, přičemž pak musíme tlak, p, dosazovat v start text, a, t, m, o, s, f, e, with, \', on top, r, a, with, \', on top, c, h, space, end text, a, t, m, objem, V, v start text, l, i, t, r, e, c, h, space, end text, l a teplotu, T, v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, end text, K.

Ještě jsme to přehledně sepsali v následující tabulce.

**Jaké jednotky dosazovat do p, V, equals, n, R, T**
R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction	R, equals, 0, comma, 082, start fraction, l, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction
Tlak v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, space, end text, P, a	Tlak v start text, a, t, m, o, s, f, e, with, \', on top, r, a, with, \', on top, c, h, space, end text, a, t, m
Objem v m, cubed	Objem v start text, l, i, t, r, e, c, h, space, end text, l
Teplota v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, end text, K	Teplota v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, end text, K

[Jak lze mezi těmito jednotkami převádět?]

Existuje ještě i jiný tvar stavové rovnice ideálního plynu?

Stavovou rovnici si můžeme také vyjádřit pomocí N, start text, space, p, o, c, with, \v, on top, t, u, space, m, o, l, e, k, u, l, end text namísto n, start text, space, m, o, l, u, with, \r, on top, end text:

p, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T

kde p je tlak plynu, V jeho objem, T je jeho termodynamická teplota, N počet molekul plynu a k, start subscript, B, end subscript je Boltzmannova konstanta,

k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, comma, 38, dot, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction

Pokud používáme tvar stavové rovnice ideálního plynu s Boltzmannovou konstantou, musíme p dosadit v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, space, P, a, end text, objem V v start text, m, end text, cubed a teplotu T v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, K, end text. Tyto informace jsme přehledně shrnuli v následující tabulce.

**Jaké jednotky použít dop, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T**
k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, point, 38, dot, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction
Tlak v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, space, end text, P, a
Objem v m, cubed
Teplota v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, space, end text, K

Existují i nějaké jiné tvary stavové rovnice ideálního plynu?

Někdy se nám hodí použít stavovou rovnici ideálního plynu v poupraveném tvaru. Například, když se během sledovaného procesu nemění počet molů plynu n (nebo molekul N), jsou součiny n, R a N, k, start subscript, B, end subscript konstantní. Taková situace je poměrně běžná, jelikož je plyn většinou uzavřený v pevné nádobě (tlakové bombě). Když potom upravíme rovnici tak, aby byl tlak, objem a teplota na stejné straně, dostaneme

n, R, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, equals, start fraction, p, V, divided by, T, end fraction, equals, start text, space, k, o, n, s, t, point, end text

Z toho nám vyplývá, že pokud se látkové množství plynu nemění, musí být i poměr start fraction, p, V, divided by, T, end fraction stále stejný, ať už s plynem děláme různé procesy. Takže pokud plyn přechází ze stavu 1 (s určitou hodnotou tlaku p, start subscript, 1, end subscript, objemu V, start subscript, 1, end subscript a teploty T, start subscript, 1, end subscript) do stavu 2 (popsaným pomocí tlaku p, start subscript, 2, end subscript, objemu V, start subscript, 2, end subscript a teploty T, start subscript, 2, end subscript), pak nehledě na probíhající děj se tento poměr nezmění.

Tento tvar je užitečné znát a používat, pokud u ideálního plynu probíhá nějaký proces. Výhodou je, že si nemusíme dávat tak velký pozor na jednotky, stačí jen, aby byly na začátku a na konci dosazované jednotky stejné (například když použijeme start text, m, end text, cubed u V, start subscript, 1, end subscript, musíme použít start text, m, end text, cubed i u V, start subscript, 2, end subscript). [Nezapomeň ale, že teplota musí vždy být v kelvinech, abychom třeba nemuseli řešit situaci dělení nulou nebo nekonzistentní znaménka]

Jak vypadají typické příklady na stavovou rovnici ideálního plynu?

1. Příklad: Kolik molů plynu je v basketbalovém míči?

Dle směrnic pro basketbal NBA je vzduch v míči napumpován pod tlakem 1, comma, 54, start text, space, a, t, m, end text a míč má poloměr 0, comma, 119, start text, space, m, end text. Předpokládejme teplotu vzduchu rovnou 25, start superscript, o, end superscript, start text, space, C, end text (respektive pokojovou teplotu).

a. Vypočítej látkové množství (tedy počet molů) vzduchu v míči.

b. Vypočítej počet molekul vzduchu v míči.

Tento příklad vyřešíme pomocí stavové rovnice ideálního plynu. Pro výpočet látkového množství si ho ze základního stavu rovnice vyjádříme.

p, V, equals, n, R, T, start text, left parenthesis, z, a, with, \', on top, k, l, a, d, n, ı, with, \', on top, space, t, v, a, r, space, s, t, a, v, o, v, e, with, \', on top, space, r, o, v, n, i, c, e, space, i, d, e, a, with, \', on top, l, n, ı, with, \', on top, h, o, space, p, l, y, n, u, right parenthesis, end text

n, equals, start fraction, p, V, divided by, R, T, end fraction, start text, left parenthesis, v, y, j, a, with, \', on top, d, r, with, \v, on top, i, space, z, space, r, o, v, n, i, c, e, space, l, a, with, \', on top, t, k, o, v, e, with, \', on top, space, m, n, o, z, with, \v, on top, s, t, v, ı, with, \', on top, right parenthesis, end text

n, equals, start fraction, p, V, divided by, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, right parenthesis, T, end fraction, start text, left parenthesis, v, y, b, e, r, space, s, p, r, a, with, \', on top, v, n, o, u, space, u, n, i, v, e, r, z, a, with, \', on top, l, n, ı, with, \', on top, space, p, l, y, n, o, v, o, u, space, k, o, n, s, t, a, n, t, u, right parenthesis, end text

S touto univerzální plynovou konstantou musíme dosadit tlak v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, end text, objem v start text, m, end text, cubed a teplotu v start text, k, e, l, v, i, n, e, c, h, end text.

[Neměli jsme použít jinou univerzální plynovou konstantu?]

Převedeme si tlak z atmosfér na pascaly,
1, comma, 54, start text, space, a, t, m, end text, dot, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, dot, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, divided by, 1, start text, space, a, t, m, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 156, space, 000, start text, space, P, a, end text.

Pak si vzpomeneme na vzoreček pro objem koule, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, cubed, a tím si z poloměru míče zjistíme jeho objem.
V, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, cubed, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, left parenthesis, 0, comma, 119, start text, space, m, end text, right parenthesis, cubed, equals, 0, comma, 00706, start text, space, m, end text, cubed

Nakonec si převedeme teplotu z 25, start superscript, o, end superscript, start text, space, C, end text na kelviny,
T, equals, t, plus, 273, start text, space, K, end text. T, equals, 25, start superscript, o, end superscript, start text, space, C, end text, plus, 273, start text, space, K, end text, equals, 298, start text, space, K, end text.

Všechny tyto hodnoty si nyní můžeme dosadit do vztahu pro látkové množství

n=\dfrac{(156{~}000 \text{ Pa})(0{,}00706 \text{ m}^3)}{(8{,}31 \dfrac{J}{K\cdot mol})(298 \text{ K})} \quad \text{(do vzorce dosadíme veličiny ve správných jednotkách)}

n, equals, start fraction, left parenthesis, 156, space, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis, left parenthesis, 0, comma, 00706, start text, space, m, end text, cubed, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 298, start text, space, K, end text, right parenthesis, end fraction, start text, left parenthesis, d, o, space, v, z, o, r, c, e, space, d, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, v, e, l, i, c, with, \v, on top, i, n, y, space, v, e, space, s, p, r, a, with, \', on top, v, n, y, with, \', on top, c, h, space, j, e, d, n, o, t, k, a, with, \', on top, c, h, right parenthesis, end text

n, equals, 0, comma, 445, start text, space, m, o, l, u, with, \r, on top, end text

Pro zjištění počtu molekul v basketbalovém míči N si už jen start text, m, o, l, y, end text jednoduše převedeme na start text, p, o, c, with, \v, on top, e, t, space, m, o, l, e, k, u, l, end text.

N, equals, 0, comma, 445, start text, space, m, o, l, end text, dot, left parenthesis, start fraction, 6, comma, 02, dot, 10, start superscript, 23, end superscript, start text, space, m, o, l, e, k, u, l, end text, divided by, 1, start text, space, m, o, l, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 2, comma, 68, dot, 10, start superscript, 23, end superscript, start text, space, m, o, l, e, k, u, l, end text

Tuto úlohu bychom také mohli vyřešit pomocí stavové rovnice ideálního plynu s Boltzmannovou konstantou. Tím bychom nejdříve zjistili počet molekul a poté z toho zjistili látkovém množství (počet molů).

2. příklad: Plyn v ledové lázni

V pevné uzavřené nádobě máme plyn o teplotě T, equals, 293, start text, space, K, end text a atmosferickém tlaku. Tuto nádobu následně umístíme do ledové lázně, přičemž teplota se ustálí na hodnotě T, equals, 255, start text, space, K, end text.

Zjisti tlak plynu při teplotě 255, start text, space, K, end text, point

Jelikož známe obě teploty a jeden (počáteční) tlak, použijeme tvar stavové rovnice ideálního plynu s poměry, který jsme si uváděli jako poslední. Molární množství plynu se nemění, což nám dává možnost tento tvar použít.

start fraction, p, start subscript, 1, end subscript, V, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, p, start subscript, 2, end subscript, V, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, p, o, m, e, with, \v, on top, r, o, v, y, with, \', on top, space, t, v, a, r, space, s, t, a, v, o, v, e, with, \', on top, space, r, o, v, n, i, c, e, space, i, d, e, a, with, \', on top, l, n, ı, with, \', on top, h, o, space, p, l, y, n, u, right parenthesis, end text

start fraction, p, start subscript, 1, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, p, start subscript, 2, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, o, b, j, e, m, space, n, a, with, \', on top, d, o, b, y, space, s, e, space, p, r, with, \v, on top, i, space, p, r, o, c, e, s, u, space, n, e, m, e, with, \v, on top, n, ı, with, \', on top, right parenthesis, end text

start fraction, p, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, p, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, o, b, e, with, \v, on top, space, s, t, r, a, n, y, space, v, y, d, e, with, \v, on top, l, ı, with, \', on top, m, e, space, end text, V, right parenthesis

p, start subscript, 2, end subscript, equals, T, start subscript, 2, end subscript, start fraction, p, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, v, y, j, a, with, \', on top, d, r, with, \v, on top, ı, with, \', on top, m, e, space, s, i, space, end text, p, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis

p, start subscript, 2, end subscript, equals, left parenthesis, 255, start text, space, K, end text, right parenthesis, start fraction, 1, start text, space, a, t, m, end text, divided by, 293, start text, space, K, end text, end fraction, start text, left parenthesis, d, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, k, o, n, k, r, e, with, \', on top, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, end text, right parenthesis

p, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, start text, space, a, t, m, end text, start text, left parenthesis, d, o, p, o, c, with, \v, on top, ı, with, \', on top, t, a, with, \', on top, m, e, space, a, space, m, u, with, \r, on top, z, with, \v, on top, e, m, e, space, s, l, a, v, i, t, end text, right parenthesis

Všimni si, že jsme počáteční tlak dosazovali v start text, a, t, m, o, s, f, e, with, \', on top, r, a, with, \', on top, c, h, end text a vyšel nám tak konečný tlak také v start text, a, t, m, o, s, f, e, with, \', on top, r, a, with, \', on top, c, h, end text. Pokud bychom chtěli odpověď v start text, p, a, s, c, a, l, e, c, h, end text, mohli jsme počáteční tlak převést na start text, p, a, s, c, a, l, y, end text, nebo výslednou hodnotu převést na start text, p, a, s, c, a, l, y, end text až úplně nakonec.

p, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, start text, space, a, t, m, end text, dot, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, dot, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, divided by, 1, start text, space, a, t, m, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 88, space, 200, start text, space, P, a, end text, start text, left parenthesis, p, r, with, \v, on top, e, v, e, d, e, n, ı, with, \', on top, space, a, t, m, o, s, f, e, with, \', on top, r, space, n, a, space, p, a, s, c, a, l, y, end text, right parenthesis

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.