Hlavní obsah

Kurz: Fyzika - vlnění a zvuk > Kapitola 1

Lekce 2: Harmonické kmitání

Co popisuje Hookův zákon?

Dozvíme se o pružnosti a o tom, jak určit sílu, kterou pružina působí.

Co je pružina?

Pružina je těleso, které se působením síly natáhne nebo stlačí a po ukončení působení síly se vrátí do původního tvaru.

Pružiny mohou mít různé tvary, nicméně nejběžnější je kovová pružina ve tvaru spirály. Pružiny jsou důležitými součástmi téměř všech složitějších zařízení od kuličkových per po motory závodních aut.

Na samotném tvaru pružiny není nic kouzelného, co by jí dovolilo se takto chovat. Pružnost (elasticita) je totiž základní vlastnost drátu, ze kterého je pružina vyrobena. I rovný dlouhý drát bude pružit, pokud jej budeme natahovat nebo jím kroutit. Navinutí drátu do tvaru cívky pouze umožňuje využít vlastnosti dlouhého drátu v menších rozměrech, což je mnohem praktičtější pro výrobu mechanických zařízení.

Odezva kovového drátu na natažení (osový tah) a kroucení (krut, torzi) závisí na různých fyzikálních jevech a různé druhy pružin využívají různé typy deformací. Pružné vlastnosti kovů navíc silně závisí na jejich vnitřní mikrostruktuře. Ta lze ovlivnit tlakem a kontrolovaným zahříváním či ochlazováním známým také jako žíhání. Je-li rovný kovový drát navinut do tvaru cívky, tak jej pravděpodobně bude potřeba znovu žíhat, aby si obnovil své pružné vlastnosti.

Co se děje při natažení nebo stlačení materiálu?

Materiál se v důsledku působení síly může natahovat, nebo stlačovat. Každý například známe gumu, která se natahuje velmi snadno.

Ve mechanice je důležitý poměr síly působící na jednotku plochy, tedy mechanické napětí (značíme

σ

). Míra natažení nebo stlačení, ke kterému u materiálu působením mechanického napětí dojde, se nazývá poměrné prodloužení (značíme

ϵ

). Hodnota poměrného prodloužení odpovídá poměru změny délky

Δ l

vůči klidové délce

l_{0}

ve směru mechanického napětí, tedy

ϵ = Δ l / l_{0}

Každý materiál má odlišnou reakci na mechanické napětí a znalost této reakce je zásadní pro návrh strojů. Inženýři musí postavit zařízení z vhodných materiálů tak, aby správně fungovalo během předpokládaného provozního zatížení.

U většiny materiálů je poměrné prodloužení při malém napětí závislé na pevnosti chemických vazeb v materiálu. Tuhost materiálu přímo souvisí s chemickou strukturou materiálu a typem přítomných chemických vazeb. Následek po působení mechanického napětí závisí na tom, jak moc jsme při něm pohnuli atomy v materiálu. Rozlišují se dva druhy deformací:

Pružná (elastická) deformace. Po zatížení se materiál navrátí do původního tvaru před zatížením. Deformace je vratná, tj. není stálá.
Trvalá (plastická) deformace nastává při působení velkého mechanického napětí. To je natolik velké, že se materiál po zatížení nevrátí do původního tvaru. Nastala stálá nevratná deformace. Minimální hodnota napětí, při kterém nastává trvalá deformace, je známá jako mez pružnosti.

Všechny pružiny by měly být navrhovány tak, aby v běžném provozu podstupovaly pouze pružné deformace.

Hookův zákon

Při studiu pružin a pružnosti, fyzik 17. století Robert Hooke si všiml, že křivka grafu závislosti tlaku na deformaci má lineární oblast. S určitými limity je síla, potřebná k natažení pružiny, přímo úměrná danému natažení pružiny. To je známo jako Hookův zákon, běžně zapisován ve tvaru:

F = - k x

kde

F

je síla,

x

je délka natažení/stlačení a

k

je konstanta pružnosti (také známá jako tuhost pružiny), jejíž jednotkou v SI je

N/m

Ačkoliv jsme výslovně neurčili směr působení síly, obvykle je přidáváno záporné znaménko. To znamená, že síla pružiny působí v opačném směru než síla, která způsobila posunutí. Zatažení za pružinu ve směru dolů způsobí natažení pružiny ve směru dolů, což způsobí vzhůru směřující sílu pružiny.

Je vždy důležité ujistit se, že směr vratné síly pružiny je určen konzistentně, počítáme-li příklady na pružnost. V jednoduchých úlohách lze posunutí

x

chápat jako jednorozměrný vektor. V tomto případě bude výsledná síla rovněž jednorozměrným vektorem a záporné znaménko v Hookově zákoně zajistí správný směr síly.

Při určování

x

je důležité nezapomenout, že samotná pružina má svou původní délku

l_{0}

. Celková délka pružiny

l

po napnutí je rovna původní délce plus natažení

l = l_{0} + x

. Pro stlačovanou pružinu by platilo

l = l_{0} - x

Cvičení 1: Člověk o hmotnosti 75 kg stojí na stlačené pružině o tuhosti

5 000 N/m

a klidové délce

0, 25 m

. Jaká je délka zatížené pružiny?

Cvičení 2a: Navrhněme montáž na posunutí foťáku o hmotnosti 1 kg na svislé vzdálenosti 50 mm. V návrhu mějme pár kolejí a pružinu podpírající foťák a tlačící jej proti nastavujícímu šroubu, jak je zobrazeno na Obrázku 1. Původní délka pružiny je

L_{0} = 50 mm

. Jaká je minimální tuhost pružiny pro tento návrh?

Pružina musí být dostatečně pružná, aby působila dostatečnou silou a přitlačovala fotoaparát ke šroubu. Síla bude nejmenší, bude-li pružina minimálně natažená, tedy je-li délka pružiny 100 mm.

Jelikož má pružina původní délku 50 mm, nejmenší natažení bude

x = 100 mm - 50 mm = 50 mm

. Síla pružiny musí vyvážit gravitační sílu působící na foťák

m g = (1 kg) \cdot (9, 81 m/s²) = 9, 81 N

Pomocí Hookova zákona nalezneme hledanou tuhost pružnosti:

\begin{aligned} k & = \frac{F}{x} \\ = \frac{9, 81 N}{50 \cdot 10^{- 3} m} \\ ≃ 196 N/m \end{aligned}

Cvičení 2b: Jaká maximální síla může takovou pružinu natáhnout bez deformace?

Pružina musí být dostatečně robustní, aby se nepřetrhla a aby nedošlo k překročení meze její pružnosti, působí-li na ni maximální síla přípustná v tomto návrhu. Síla pružiny je maximální, je-li maximální natažení pružiny.

Víme, že maximální natažení je rovno

x = 150 mm - 50 mm = 100 mm

a uvažujeme pružinu s tuhostí rovnou

196 N/m

K nalezení síly při maximálním natažení použijeme Hookův zákon.

\begin{aligned} F & = k x \\ = (196 N/m) \cdot (100 \cdot 10^{- 3} m) \\ = 19, 6 N \end{aligned}

Youngův modul a kombinace pružin

Youngův modul (známý též jako modul pružnosti v tahu) je číslo určující odpor materiálu k pružné deformaci. Je pojmenován po fyzikovi 17. století Thomasu Youngovi. Čím tužší materiál, tím vyšší Youngův modul.

Youngův modul je obvykle označen symbolem

E

a je definován:

E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{Napětí v tahu}{Deformace při tomto napětí}

Youngův modul lze určit pro každou deformaci, pokud platí Hookův zákon, tak je konstantní. Tuhost pružiny

k

lze přímo získat z Youngova modulu materiálu, plochy

S

na kterou působí síla (neboť napětí v tahu záleží na ploše) a původní délce materiálu

l

To funguje dobře pro jednoduché pružné materiály, jako například kus gumy. Kovová pružina je příklad relativně komplikované struktury, která využívá deformace zkroucení i natažení. V tomto případě je k určení správné hodnoty tuhosti pružiny vyžadován další rozbor, založený na vlastnostech daného materiálu. Nicméně obecný vztah mezi tuhostí pružiny a geometrií pružiny zůstává stejný.

k = E \frac{S}{l}

Je velmi užitečné tomuto vztahu rozumět, přemýšlíme-li nad vlastnostmi kombinace pružin. Uvažujme případ dvou stejných ideálních pružin s tuhostmi

k

, které lze k udržení závaží uspořádat sériově nebo paralelně, jak lze vidět na Obrázku 2. Jaká je efektivní tuhost v kombinaci pružin?

V sériovém uspořádání vidíme, že kombinace pružin je ekvivalentní jedné pružině o dvojnásobné délce. Tuhost takové pružiny je tedy poloviční oproti jednotlivým pružinám:

k_{efektivní} = k / 2

V paralelním uspořádání vidíme, že délka zůstala stejná, nicméně síla je rozdělena na dvojnásobnou plochu materiálu. To zdvojnásobuje efektivní tuhost pružiny

k_{efektivní} = 2 k

Pružiny se závažím

Uvažujme situaci vyobrazenou na Obrázku 3. Na jedné pružině je pomocí kladky (kterou můžeme uvažovat bez tření) zavěšeno závaží o hmotnosti 1 kg vodorovně, a na druhé pružině, která je identická, je zavěšeno stejné závaží svisle. Uvažujme hmotnost pružiny 50 g, tuhost pružnosti k=200 N/m. Jaké bude prodloužení každé z pružin?

V obou případech bude síla působící na pružinu důsledkem závaží stejná,

m g

. Mohli bychom tedy čekat, že prodloužení bude stejné v obou případech. Ukazuje se však, že to pro reálné pružiny neplatí.

Tuto situaci komplikuje skutečnost, že pružina samotná má nějakou hmotnost. Na svislou pružinu tedy působí tíhová síla stejným směrem, jako na zavěšené závaží, takže se obě tyto síly sčítají. Natažená pružina se závažím má tedy hmotnost 1,05 kg, a tím pádem je hodnota prodloužení

\frac{1, 05 kg \cdot 9, 81 m/s²}{200 N/m} = 51, 5 mm

V případě vodorovného působení závaží byl kladkou směr působení síly změněn. Síla závaží o hmotnosti 1 kg působící na pružinu je nyní kolmá k gravitační síle na pružinu. Pružina tedy drží pouze 1kg závaží. Natáhne se tedy takto:

\frac{1 kg \cdot 9, 81 m/s^2}{200 N/m} = 49 mm

Tento rozdíl může být poměrně významný a pokud se zanedbá, může vést k rozdílným výsledkům v laboratoři. Ve fyzikálních laboratořích často využíváme pružinové váhy k měření síly. Taková váha (na Obrázku 4) je jednoduše jen pružina s ukazatelem a stupnicí.

Jelikož výrobci těchto vah očekávají použití ve svislé poloze (například rybář vážící ulovenou rybu) berou v úvahu hmotnost pružiny i háku. Nicméně dá nesprávný absolutní výsledek při horizontálním použití. Vzhledem k tomu, že Hookův zákon nám říká, že mezi silou a natažením existuje lineární vztah můžeme se na váhu spolehnout při relativním měření i při použití vodorovně. Některé váhy mají možnost nastavit nulový bod, čímž tento problém vyřeší.

Co se myslí pod pojmy absolutní a relativní? Absolutní měření je měření veličiny, která má definovaný referenční bod, kde je hodnota veličina nula. Měření délky pomocí pravítka s natištěnou stupnicí je případ absolutního měření. Pravítko bez vytištěných čísel (pouze značky) by bylo příkladem relativního měření.

Abychom relativní měření převedli na absolutní, potřebujeme si zvolit vlastní referenční bod. V případě horizontálního použití váhy bychom pravděpodobně zvolili referenční bod jako hodnotu pro nezatíženou pružinu. Tuto hodnotu bychom pak odečetli od hodnoty, kterou bychom získali při měření.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.