Objemový průtok a rovnice kontinuity

Vše, čím jsme se dosud zabývali, byly tekutiny v klidu, statické tekutiny, a pracovali jsme se statickým tlakem. Zkoumali jsme tekutiny v klidu. Pojďme se nyní zabývat situací, kdy se tekutina dá do pohybu. Představme si trubku. ...nakreslím trubku... Řekněme, že jeden konec trubky má větší průřez než druhý konec, nebo alespoň jiný průřez. Toto je jeden konec trubice, toto je druhý konec trubice. Řekněme, že je naplněna nějakou tekutinou, vlastně v našem případě kapalinou. Je tam prostě nějaká kapalina. Řekněme, že tento průřez u vstupu bude vstupní plocha Ai. To je vstupní část trubice. A nazvěme tento průřez výstupním, Ao. To je plocha trubice na výstupu. Přemýšlejme o tom, co se stane, jestliže se tato kapalina bude pohybovat. Řekněme, že vstupuje do trubice vstupní rychlostí vi. Přemýšlejme o tom, jaký objem kapaliny vstoupí do trubice za t sekund. Za t sekund, pokud o tom přemýšlíte, to bude takhle velká plocha. A jestliže se zaměříte na kapalinu, co byla zde, ta se bude pohybovat doprava. Jak moc? Můžeme se vrátit zpět k našemu základnímu vzorci z kinematiky: vzdálenost je rovna rychlost krát čas. Takže vzdálenost, kterou něco urazí, je rovna rychlosti krát čas, tedy po t sekundách, ať tady byla jakákoli tekutina, a pokud bychom měli takovou plochu, ať tady byla jakákoli tekutina, jakou vzdálenost by urazila směrem doprava? Urazila by... Předpokládejme, že poloměr trubice se odsud sem příliš nemění. Tekutina by urazila vzdálenost rovnou rychlosti krát čas, tedy vstupní rychlost krát čas. Mohou to být metry nebo jakékoli jiné délkové jednotky, co používáme. Tedy po t sekundách vteklo do trubice takovéto množství vody. Můžeme si zde představit válec vody. A ještě jednou – vím, že jsem trubici namaloval tak, že se rozšiřuje, ale předpokládejme, že se její šířka během t sekund moc nezmění (nebo jakýchkoli jiných časových jednotek, co používáme). Takže jaký je objem tohoto válce vody? Objem, který přitekl do trubice během času t, je roven této ploše neboli levé části válce... ...načrtněme si tento válec živější barvou... Takže objem je roven této ploše, levé straně válce, vstupnímu průřezu krát délka válce. A to je rychlost tekutiny krát čas, který měříme, krát vstupní rychlost krát čas. To je objem tekutiny, která přiteče. Jestliže tento objem přiteče do trubice... – a ještě jednou, několik videí nazpátek jsme se učili, že kapalina je nestlačitelná tekutina, nemůže se stát, že by z trubky nic nevyteklo a tekutina by zde zůstala stlačená. Ten samý objem tekutiny musí vytéci ven z trubice, takže se to musí rovnat výstupnímu objemu. Ať do trubice vteče jakýkoli objem, musí se rovnat objemu, který z trubice odteče ven. A jeden z našich předpokladů, během našeho časového úseku, že v tekutině není žádné vnitřní tření, že tekutina není turbulentní a není viskózní. Viskózní tekutina je tekutina, ve které je mnoho tření a která se nebude přirozeně pohybovat bez odporu. Takovému proudění tekutiny, která není viskózní a pohybuje se bez turbulencí, říkáme laminární proudění. Tento termín je dobré znát, jeho opakem je viskózní proudění. Různé tekutiny mají různou viskozitu, to asi ještě rozebereme. Například sirup nebo arašídové máslo mají velmi, velmi vysokou viskozitu. Dokonce sklo je vlastně tekutina s velmi, velmi vysokou viskozitou. Na druhou stranu myslím, že existují sloučeniny, které v magnetických polích proudí „dokonale laminárně“. Ale je to určitá ideální situace. Nicméně za těchto okolností se vstupní objem – protože kapalina je nestlačitelná – musí rovnat výstupnímu objemu. Jaký je výstupní objem za daný časový interval? Stejně jako předtím můžeme načrtnout tento větší válec – toto je průřez při výstupu – a kolik vody vyteče za t sekund? Ať se zde na začátku časového intervalu nacházelo jakékoli množství vody, vyteklo ven a my si zde můžeme představit válec. Jaká je výška tohoto válce? Jaká bude rychlost, se kterou kapalina vychází ven na pravé straně? ...tohle je velké V... Velké V je objem, malé písmeno v označuje rychlost, takže máme výstupní rychlost v krát ten samý čas. Takže jaký je objem, který vyteče ven během času t? To bude tento průřez krát výška válce, takže výstupní objem za ten samý časový interval je roven výstupnímu průřezu trubice krát výstupní rychlost krát čas. Ještě jednou – vím, že to stále opakuji, ale je důležité si uvědomit –, v daném čase musí být objem v tomto válci roven objemu v tomto válci. Možná není tak široký, ale opravdu, jejich objemy se musí rovnat, nemůžeme sem dostat najednou více vody, než sem vstoupí, a podobně nemůžeme dostat více vody do levé části, než kolik jí vychází zprava, protože tekutina je nestlačitelná. Tyto dva objemy jsou tedy stejné. Tedy průřez trubice při vstupu na levé straně krát vstupní rychlost krát náš časový interval se rovná průřez trubice na výstupu krát výstupní rychlost krát náš časový interval. Na obou stranách této rovnice je ten samý čas, můžeme tedy říci, že vstupní plocha krát vstupní rychlost se rovná výstupní plocha krát výstupní rychlost. Tato rovnice se v dynamice tekutin nazývá rovnicí kontinuity a vede k zajímavým věcem. Za chvíli se na nějaké příklady podíváme. Ale ještě chci nyní zavést objem za jednotku času. Protože to je také pojem, se kterým se za chvíli setkáme. No, možná v příštím videu, protože mi téměř vypršel čas. Řekli jsme, že za t sekund vteče dovnitř tento objem a ten samý objem vyteče ven. Takže co je objem za jednotku času? Je to objem Vi za určitý čas a říkáme mu tok (nebo průtok). Budeme se toho o toku učit mnoho, zvláště při počítání s vektory, ale tok říká, kolik něčeho prochází plochou za jednotku času. Jaký objem prochází plochou za jednotku času. V tomto případě je plochou tato levá strana trubice. Kolik tekutiny jí projde za jednotku času? Zjistili jsme, že to je tento vstupní objem, který vteče dovnitř za t sekund, a tomu říkáme tok. Možná jste slyšeli o tokovém kondenzátoru z filmu Zpět do budoucnosti, a možná můžeme přemýšlet o tom, na co naráželi. Ale podívejme se, jestli můžeme využít veličinu tok společně s těmito úvahami a odvodit další zajímavé rovnice. ...mám dost času?... Takže víme, že objem za čas je roven toku. Toto je velké V, děleno t je rovno toku. A vlastně písmeno, které lidé běžně užívají pro tok, je R. Samozřejmě, jednotka jsou metry kubické za sekundu. Jednotka toku. Také víme, že vstupní průřez krát vstupní rychlost – malé v – je roven výstupnímu průřezu krát výstupní rychlost, a toto se nazývá rovnice kontinuity. Platí vždy, když se jedná o laminární proudění. A nyní... No, už nemám čas. V dalším videu využiji tyto informace, abych zjistil, kolik energie je v tomto našem systému, kde tekutina protéká trubicí. Brzy na viděnou.