Kapalina vytékající dírkou v nádobě

V minulém videu jsme měli tuto nádobu, byla uzavřená a nad tekutinou bylo vakuum. Tekutina nahoře měla plochu A1 a udělal jsem malinký otvor s velmi malou plochou A2. A řekl jsem, že plocha A2 je tak malá, že má hodnotu 1/1000 plochy A1. Potom jsme využili rovnici kontinuity, řekli jsme, že rychlost, s jakou se pohybuje povrch tekutiny zde nahoře, v1, krát vstupní povrch A1, celý povrch tekutiny, se musí rovnat výstupní rychlosti, kterou se snažíme určit jako funkci ostatních veličin, krát tento výstupní průřez. A pak řekneme... ...udělal jsem chybu... Nevím, jestli jsem ji udělal v minulém nebo ve vyřazeném videu. Víme tedy, že vstupní rychlost krát tato plocha nahoře je rovna výstupní rychlosti krát... – místo toho, abychom psali plocha A2, můžeme psát plocha A1 děleno 1000. Obě strany můžeme vydělit plochou A1 a pak říci, že rychlost tady nahoře je rovna rychlosti, kterou se pohybuje hladina dolů, a je rovna jedné tisícině rychlosti, kterou kapalina stříká ven tímto malý otvorem. Nyní tedy máme vlastně tři proměnné pro levou stranu Bernoulliho rovnice. A jaké jsou proměnné na pravé straně? Jaký je tlak v tomto bodě, kde máme otvor? A tohle je důležité. Jestliže mluvíme o Bernoulliho rovnici... ...napíšu ji znova... Tedy, p1 plus rhó krát g krát h1 plus rhó krát v1 na druhou děleno 2 je rovno p2 plus rhó krát g krát h2 plus rhó krát v2 na druhou děleno 2. Určili jsme všechny tyto členy. Nyní musíme přijít na to, co dosadit sem. Jaký je tlak v bodě 2? To je důležité. Možná řeknete, a to také byla má první reakce a důvod, proč jsem udělal chybu, že p2 je tlak v této hloubce v tekutině. Ale to není to, co nám říká Bernoulliho rovnice. Bernoulliho rovnice nám říká, jaký je vnější tlak u tohoto otvoru. Kolik... Když jsme prováděli odvození, vycházeli jsme z práce... – tento člen souvisí s prací, ačkoli jsme si s ním trochu pohráli. Ale pokud se podíváme na vodu, která stříká z otvoru, nekoná tato voda žádnou práci, protože ve skutečnosti nevyvíjí proti čemukoli sílu, nekonává tedy práci. Když se zamyslíme nad vnějším tlakem, není to tlak v této hloubce tekutiny. Měli bychom o něm přemýšlet jako o vnějším tlaku u otvoru. A v tomto případě u otvoru žádný vnější tlak není. Řekněme, že jestliže ucpeme otvor, pak ano – tlak by se rovnal tlaku, kterým působí nádoba k udržení tekutiny, a potom by rychlost byla nulová, voda by nikam nestříkala. Ale nyní je vnější tlak nulový, za to je v zásadě odpovědný ten otvor. Tedy tlak p2 je nulový, Takže tlak p1 je nula, protože zde máme vakuum, a p2 je také nula, tedy oba tyto tlaky jsou nulové. Mějme na paměti, že toto je vnější tlak. Tlak p1 je vnější tlak na vstupu do trubice. Můžete si to i představit jako trubici. Mohl bych ten hrníček překreslit jako... ...mohl bych ho překreslit jako trubici... ...vlastně ne, vrátím to... Nahoře má velký otvor, a svažuje se dolů do malinkého výstupního otvoru. Tady by bylo vakuum a tekutina vstupuje dovnitř a na tomto konci stříká ven. Každopádně, vstupní tlak p1 je nulový, a řekli jsme, že kvůli otvoru je výstupní tlak p2 také nula. Nekonáme tedy žádnou práci. A kolik je tento člen? Toto byla potenciální energie a řekli jsme si, že h1 je rovno h, zavedli jsme toto jako nulovou výšku. Takže se nám to zjednodušilo na tvar: rhó krát tíhové zrychlení krát h plus rhó krát v1 na druhou... – řekli jsme, že v1 je rovno v2 děleno 1000 – takže rhó děleno 2 krát v2 děleno 1000 na druhou. Dosadil jsem za v1 z rovnice kontinuity v2 děleno 1000. Toto je rovno tlaku p2, vnějšímu tlaku u otvoru, který je nulový, plus... – jaká je výška h2 v tomto členu? Je to tato výška přímo zde, o které jsme řekli, že je nulová. Stanovili jsme, že otvor je vytvořen v nulové výšce, takže tento člen je rovněž nulový. Takže to se rovná tomuto členu na způsob kinetické energie, – kinetická energie to úplně není – je roven rhó krát v2 na druhou děleno dvěma. Jedna věc, kterou ihned vidíme, je, že na obou stranách rovnice máme hustotu rhó, takže můžeme obě strany touto hustotou vydělit. Všech se jich zbavíme. Potom vynásobíme obě strany rovnice dvěma a dostaneme 2 krát g krát h plus v2 na druhou děleno 1000 na druhou, což je jeden milion. A to je rovno v2 na druhou. Nyní bychom mohli provést přesný výpočet, mohli bychom od obou stran odečíst v2 na druhou děleno milionem a dostali bychom 0,999999 v2 na druhou, nicméně pro zjednodušení řekněme, že toto nebylo 1000, ale 1 milion, a že tato plocha byla mnohem větší. Vidíme, že tento člen je potom velmi, velmi, velmi malý. A jestliže plocha tohoto otvoru je jedna milióntina plochy hladiny, potom je tento člen nevýznamný a můžeme ho zanedbat. Jen by věci komplikoval. A předpokládáme, že toto je opravdu velké číslo a že tento otvor je mnohem menší než plocha tekutiny. Je to jako vyhloubit dírku v Hooverově přehradě, tato přehrada zadržuje obří jezero a vy v ní uděláte malou dírku, takže plocha dírky bude jen velmi malou částí plochy povrchu tekutiny. A tuto úpravu můžete udělat, pouze pokud je výstupní otvor mnohem menší než vstupní otvor. A jaká je tedy výstupní rychlost? Rychlost – odmocním obě strany – je druhou odmocninou z 2 krát g krát h. To je tedy výstupní rychlost. A jaký je objem tekutiny, který za sekundu vyteče ven? Již jsme to zjistili. Je to sloupec tekutiny, která jde ven. Tedy za sekundu bude délka sloupce tekutiny rovna rychlost krát čas a přitom je plocha průřezu tohoto sloupce je rovna výstupní ploše. Takže množství kapaliny, která teče z otvoru ven, neboli tok kapaliny ven z nádoby, by se rovnalo ploše otvoru krát výstupní rychlost, což by se rovnalo plocha otvoru krát odmocnina z 2 krát g krát h. A to bychom vlastně mohli použít k řešení nějakých příkladů, tedy pokud bychom měli konkrétní čísla. No, zbývá mi pouze minuta a půl. Uvidíme se u příštího videa.