Všichni instinktivně víme, že držet nějaké těžké závaží nad něčí hlavou je potenciálně nebezpečná situace. Závaží může být dobře zajištěno, pak to není nutně nebezpečné. Obáváme se však toho, že něco, co poskytuje sílu potřebnou k zajištění závaží proti pádu, selže. Abychom použili správnou fyzikální terminologii, obáváme se gravitační potenciální energie závaží.

Všechny konzervativní síly mají k sobě náležitou potenciální energii. Gravitační síla není výjimkou. Gravitační potenciální energii je obvykle přiřazován symbol $U_g$‍. Označuje práci, kterou těleso vykoná jako výsledek pohybu v gravitačním poli.

Uvažujme těleso o hmotnosti $m$‍, které je vyzvednuto do výšky $h$‍ proti působení gravitační síly, jak je znázorněno níže. Těleso je svisle vyzvednuto pomocí kladky a lana, takže síla zvedající těleso a gravitační síla $F_g$‍ jsou rovnoběžné. Je-li $g$‍ velikost gravitačního zrychlení, nalezneme práci vykonanou silou působící na těleso vynásobením velikosti gravitační síly $F_g$‍ krát svislá vzdálenost $h$‍, do které bylo těleso vyzvednuto. Předpokládejme, že je gravitační zrychlení konstantní na dráze $h$‍.

Pokud by síla přestala působit, těleso by spadlo zpátky na zem a gravitační potenciální energie by se přeměnila na kinetickou energii padajícího tělesa. Náš článek o zachování energie obsahuje několik příkladů, jejichž řešení je založeno na pochopení toho, jak se gravitační potenciální energie přeměňuje na jiné formy energie.

Na gravitační potenciální energii je zajímavé to, že nula je zvolena zcela libovolně. Jinými slovy si můžeme vybrat libovolnou úroveň ve svislém směru, kde bude $h=0$‍. Pro jednoduché úlohy v mechanice je vhodným nulovým bodem podlaha laboratoře nebo deska stolu. Nicméně lze zvolit libovolný referenční bod. Gravitační potenciální energie může být dokonce záporná, pokud by bylo těleso pod nulovým bodem. To však nepředstavuje žádný problém, jen se musíme ujistit, že v průběhu celého výpočtu uvažujeme stále stejný nulový bod.

Cvičení 1a: Kolik elektrické energie spotřebuje výtah při vyzvednutí člověka o hmotnosti 75 kg do výšky 50 m, je-li celková účinnost výtahu 25 %? Předpokládejme, že hmotnost prázdného výtahu je správně vyvážena protizávažím.

Cvičení 1b (rozšíření): Jaké jsou náklady této cesty výtahem, je-li cena elektřiny $0,10{\displaystyle \frac{\mathrm{\$}}{\text{kW}\cdot \text{hod}}}$‍?

Cvičení 2: Gravitační potenciální energie je jednou z velmi mála forem energie, kterou lze prakticky využít ke skladování energie ve větším měřítku. Takové skadování energie je potřeba pro uložení přebytkové elektrické energie z větrných a solárních elektráren, aby ji bylo možné využít v elektrické síti v době špičkové poptávky. Toho může být docíleno přečerpávacími vodními elektrárnami. Obrázek níže ukazuje příklad takové elektrárny. Voda je pumpována do horní nádrže pomocí přebytečné energie, která pohání motor turbíny. Je-li vysoká poptávka po energii, děje se to opačně. Turbína se namísto pumpy stane elektrickým generátorem poháněný gravitační potenciální energií vody v horní nádrži. Voda může být vypuštěna velmi prudce, aby vyrovnala špičkový výkon potřebný pro jedno, ale klidně i více měst.

Přečerpávací elektrárna Bath County je největší přečerpávací elektrárna na světě. Dodává elektřinu pro 60 milionů lidí a má instalovaný výkon přibližně 3 GW ${}^1$‍. Výškový rozdíl nádrží $h$‍ je 380 m. Za předpokladu, že má systém celkovou energetickou účinnost 80 %, jaký objem vody z horní nádrže by musel turbínou téct po dobu 30 minut, je-li město po tuto dobu zásobeno 3 GW výkonu?

Zahrnuje-li úloha velké vzdálenosti, nemůžeme uvažovat homogenní gravitační pole. Vybavme si Newtonův gravitační zákon, přitažlivá síla mezi dvěma hmotnými tělesy $m_1$‍ a $m_2$‍, klesá s druhou mocnicnou vzdálenosti $r^2$‍. Je-li $G$‍ gravitační konstanta, pak

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$‍.

Při řešení příkladů na gravitační potenciální energii na velké vzdálenosti, obvykle volíme polohu nulového bodu poněkud neintuitivně. Nulový bod volíme do bodu vzdálenosti $r$‍ v nekonečnu. Pak jsou všechny hodnoty gravitační potenciální energie záporné.

Ukazuje se, že to dává smysl, neboť jak vzdálenost $r$‍ roste, gravitační síla klesá rychle k nule. Jsme-li blízko planety, jsme k ní efektivně vázaní gravitací a potřebujeme mnoho energie, abychom se osvobodili. Přesně vzato gravitační vliv opustíme až ve vzdálenosti $r=\mathrm{\infty }$‍, nicméně díky vztahu inverzního čtverce lze dosáhnout asymptoty, kde bude gravitační potenciální energie velmi blízká nule. Pro vesmírnou loď opouštějící povrch Země to nastává ve výšce přibližně $5\cdot {10}^7$‍metrů nad povrchem, což je asi čtyřnásobek poloměru Země. V této výšce je velikost gravitačního zrychlení rovna 1 % hodnoty na povrchu.

Vzpomeneme-li si, že vykonaná práce je síla krát vzdálenost, pak si všimneme, že vynásobíme-li gravitační sílu se vzdáleností $r$‍, ve jmenovateli se vykrátí druhá mocnina. Máme-li nulový bod potenciální energie v nekonečnu, pak by nemělo být překvapením, že gravitační potenciální energie jako funkce $r$‍ je:

Tato formulace je velmi vhodná pro popis energetických nároků cestování mezi různými tělesy ve sluneční soustavě. Můžeme si představit přistání na planetě. Jak se k planetě blížíme, získáváme kinetickou energii. Jelikož je energie zachovávána, ztrácíme v tom důsledku gravitační potenciální energii — jinými slovy, $U_g$‍ se stává více zápornou.

Tento obrázek vede ke konceptu gravitační jámy, ze které musíme „vylézt“, abychom mohli cestovat z jednoho vesmírného tělesa na druhé. Obrázek níže znázorňuje gravitační jámy Pluta a jeho měsíce Charonu pro vesmírnou loď o hmotnosti 1000 kg.

Cvičení 3: Na základě grafu na obrázku výše zjisti, kolik práce je nutno vykonat proti gravitaci na cestě začínající v klidu na povrchu Charonu a končící na povrchu Pluta s nulovou rychlostí?