Hlavní obsah

Fyzika - mechanika

Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2

Lekce 2: Rychlost

Co jsou to grafy závislosti rychlosti na čase?

Analýza grafů závislosti rychlosti na čase a jejich souvislost se zrychlením a posunutím.

Jaký je význam svislé osy v grafu závislosti rychlosti na čase?

Svislá osa představuje rychlost tělesa. To zní asi samozřejmě, ale nenech se mýlit — grafy rychlosti jsou proslulé svou obtížností. Lidé si tak zvyknou na určování rychlosti ze sklonu grafu — jak se to dělá v grafu závislosti polohy na čase — až zapomenou, že hodnota svislé osy grafu závislosti rychlosti na čase udává rychlost.

Zkus posouvat tečkou v grafu níže a pozoruj, jak se rychlost mění v čase.

Ověření porozumění: Jaká je, podle grafu výše, rychlost tělesa v čase $t = 4 sekundy$ ‍?

[Ukaž mi odpověď.]

Jaký je význam sklonu grafu závislosti rychlosti na čase?

Sklon grafu závislosti rychlosti na čase představuje zrychlení tělesa. Hodnota sklonu v daném čase představuje zrychlení tělesa v tom okamžiku.

Sklon grafu závislosti rychlosti na čase bude dán tímto vzorcem:

sklon = \frac{změna ve svislém směru}{změna ve vodorovném směru} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

Protože

\frac{Δ v}{Δ t}

je definicí zrychlení, sklon grafu závislosti rychlosti na čase musí být roven zrychlení tělesa.

sklon = zrychlení

To znamená, že když je sklon strmý, těleso mění svou rychlost prudce. Pokud je sklon mírný, těleso mění svoji rychlost pomaleji. To také znamená, že je-li sklon záporný — směřuje dolů — zrychlení bude záporné, a je-li sklon kladný — směřuje vzhůru — zrychlení bude kladné.

Zkus posunout tečku v grafu závislosti rychlosti na čase níže a sleduj, jak vypadá sklon v daných okamžicích.

Sklon křivky je mezi časy

t = 0 s

t = 2 s

kladný, protože míří vzhůru. To znamená, že zrychlení je kladné.

Sklon křivky je mezi časy

t = 2 s

t = 8 s

záporný, protože míří dolů. To znamená, že zrychlení je záporné.

V čase

t = 2 s

je sklon nulový, protože tečna je vodorovná. To znamená, že v daném okamžiku je zrychlení nulové.

Rychlé ověření pochopení: Je rychlost tělesa, jehož pohyb je popsán grafem výše, v čase $t = 4 s$ ‍ rostoucí, nebo klesající?

[Ukaž mi odpověď.]

Co představuje obsah plochy pod křivkou grafu závislosti rychlosti na čase ?

Obsah plochy pod křivkou grafu závislosti rychlosti na čase představuje posunutí tělesa. Důvod zjistíš při prohlídce grafu níže, který zobrazuje pohyb tělesa posouvajícího se konstantní rychlostí 6 metrů za sekundu po dobu 5 sekund.

K nalezení posunutí během daného času můžeme použít tento vzorec

Δ x = v Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

ze kterého vyjde posunutí

30 m

Teď ukážeme, že jde o nalezení plochy pod křivkou. Prohlédni si obdélník tvořený grafem na obrázku níže.

Obsah obdélníku vypočítáme vynásobením výšky, 6 m/s, a šířky, 5 s, což nám dá

obsah = výška \cdot šířka = 6 m/s \cdot 5 s = 30 m

To je ta samá odpověď, kterou jsme získali předtím pro posunutí. Obsah plochy pod křivkou grafu závislosti rychlosti na čase, ať už je její tvar jakýkoli, bude roven posunutí v daném časovém intervalu.

[Proč to platí, i když rychlost není konstantní?]

obsah plochy pod křivkou = posunutí

[Počkat, nejsou obsahy vždy kladné? Co je křivka pod časovou osou?]

Jak vypadají řešené příklady na grafy závislosti rychlosti na čase?

Příklad 1: Windsurfing

Windsurferka pluje po přímce a její pohyb je dán grafem závislosti rychlosti na čase níže.

Vyber všechna pravdivá tvrzení o rychlosti a zrychlení surfařky.

(A) Rychlost roste.
(B) Zrychlení roste.
(C) Rychlost klesá.
(D) Zrychlení klesá.

Možnosti A, rostoucí rychlost, a D, klesající zrychlení, jsou obě pravdivé.

Sklonem grafu závislosti rychlosti na čase je zrychlení. Protože sklon grafu klesá a postupně se zmírňuje, znamená to, že i zrychlení klesá.

Může se ti to zdát neintuitivní, ale windsurferka zrychluje po celou dobu, kterou graf zachycuje. Hodnoty na grafu, které odpovídají rychlosti, rostou po celou zachycenou dobu pohybu, pouze se zmenšuje to, jak rychlost roste. První

4, 5

sekundy se rychlost zvýšila z 0 m/s na asi 5 m/s, ale další

4, 5

sekundy se rychlost zvýšila z 5 m/s na pouhých přibližně 7 m/s.

Příklad 2: Zrychlení motokáry

Graf závislosti rychlosti na čase níže zobrazuje pohyb motokáry.

A. Jaké bylo zrychlení motokáry v čase $t = 4 s$ ‍?
B. Jaké bylo posunutí motokáry v čase od $t = 0 s$ ‍ do $t = 7 s$ ‍?

A. Výpočet zrychlení motokáry v čase $t = 4 s$ ‍

Zrychlení v čase

t = 4 s

určíme nalezením sklonu grafu závislosti rychlosti na čase v

t = 4 s

sklon = \frac{změna ve svislém směru}{změna ve vodorovném směru}

Za naše dva body zvolíme počátek —

3 s, 6 m/s

— a konec —

7 s, 0 m/s

— skloněné úsečky. Dosazením do vzorce získáme

sklon = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

zrychlení = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

B. Určení posunutí motokáry mezi časy $t = 0 s$ ‍ a $t = 7 s$ ‍

Posunutí motokáry můžeme určit výpočtem obsahu plochy pod křivkou grafu závislosti rychlosti na čase . Graf můžeme rozložit na obdélník (mezi

t = 0 s

t = 3 s

) a trojúhelník (mezi

t = 3 s

t = 7 s

). Jakmile určíme tyto obsahy a sečteme je, získáme celkové posunutí.

Obsah obdélníku vypočteme ze vztahu

obsah = v ý š k a \cdot š í ř k a = 6 m/s \cdot 3 s = 18 m

Obsah trojúhelníku vypočteme ze vztahu

obsah = \frac{1}{2} z á k l a d n a krát v ý š k a = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

Sečtením těchto obsahů získáme celkové posunutí.

celková plocha = 18 m + 12 m = 30 m

celkové posunutí = 30 m

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.