Co je to dostředivé zrychlení?

Může mít těleso zrychlení, pohybuje-li se s konstantní velikostí rychlosti? Ano! Mnoha lidem to ze začátku připadá neintuitivní, protože zapomínají, že změna směru pohybu tělesa — i pokud si těleso zachovává konstantní velikost rychlosti — se také považuje za zrychlení.

Zrychlení je změna rychlosti, buď její velikosti— tedy velikost rychlosti — nebo jejího směru nebo změna obojího. Při rovnoměrném pohybu po kružnici se směr rychlosti mění konstantně, existuje tedy odpovídající zrychlení, i když je velikost rychlosti stále stejná. Sami toto zrychlení pociťujeme v autě, projíždíme-li ostrou zatáčkou — držíme-li pevně volant v zatáčce a pohybujeme-li se konstantní rychlostí, pohybujeme se rovnoměrně po kružnici. Všimneme si však zrychlení do strany, protože společně s autem měníme směr pohybu. Čím ostřejší zatáčka a čím vyšší rychlost, tím silnější zrychlení pociťujeme. V této sekci prozkoumáme směr a velikost tohoto zrychlení.

Na obrázku níže je znázorněno těleso pohybující se rovnoměrně po kružnici. Směr okamžité rychlosti je znázorněn ve dvou bodech trajektorie. Zrychlení je ve směru změny rychlosti, míří tedy přímo do středu rotace — středu kružnice, po které se těleso pohybuje. To je znázorněno ve vektorovém diagramu v obrázku. Zrychlení tělesa pohybujícího se rovnoměrně po kružnici — které vzniklo v důsledku celkové externí síly — nazýváme dostředivým zrychlením $a_d$‍. Dostředivé znamená „směrem ke středu“. Často se můžeme setkat i s označením „normálové zrychlení“. Normála znamená „kolmice“. Tento název zdůrazňuje skutečnost, že toto zrychlení směřující do středu je kolmé k dráze i vektoru rychlosti.

Směr dostředivého zrychlení je do středu kružnice, ale co jeho velikost? Všimněme si, že trojúhelník vzniklý z vektorů rychlosti a trojúhelník z poloměrů $r$‍ a $\mathrm{\Delta }s$‍ jsou si podobné. Oba trojúhelníky, $ABC$‍ a $PQR$‍, jsou rovnoramenné. Dvě ramena trojúhelníku z vektoru rychlostí jsou $v_1=v_2=v$‍. Z vlastností podobných trojúhelníků získáme ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$‍.

Zrychlení je ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, nejdříve tedy vyřešíme výraz pro $\mathrm{\Delta }v$‍:

Pokud vydělíme obě strany výrazem $\mathrm{\Delta }t$‍, získáme následující:

Konečně, všimneme-li si, že ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}=a_d$‍ a tečná rychlost ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}=v$‍, vidíme, že velikost dostředivého zrychlení je $a_d={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$‍.

To je zrychlení tělesa na kruhové dráze o poloměru $r$‍ při rychlosti $v$‍. Dostředivé zrychlení je tedy větší při vysokých rychlostech a prudkých zatáčkách — mající nižší poloměr — jak nám napovídá zkušenost z jízdy autem. Je však překvapivé, že $a_d$‍ je úměrné rychlosti na druhou, z čehož například vyplývá, že je čtyřikrát náročnější projet zatáčkou v rychlosti 100 km/h, než při rychlosti 50 km/h. Prudká zatáčka má nízký poloměr, $a_d$‍ je tedy pro prudké zatáčky vyšší.

Centrifuga je rotační zařízení používané k oddělení látek o různých hustotách. Vyšší dostředivé zrychlení významně zkracuje čas potřebný k oddělení, a umožňuje separaci malých vzorků. Centrifugy jsou využívány v mnoha aplikacích ve vědě i v medicíně, zahrnujíc například oddělení jednobuněčných elementů, jako například bakterie, viry a krevní buňky, z kapalného média nebo také k separaci makromolekul — jako například DNA a proteiny — z roztoků.

Centrifugy jsou hodnoceny podle dostředivého zrychlení ve vztahu ke gravitačnímu zrychlení $g$‍; maximální dostředivé zrychlení několika set $g$‍ je dosažitelné ve vakuu. Lidské, extrémně velké centrifugy, jsou používány k testování odolnosti astronautů vůči zrychlením vyšším než v gravitačním poli Země.

Jaká je velikost dostředivého zrychlení auta projíždějící zatáčkou, viz obrázek níže, o poloměru 500 m rychlostí 25 m/s — tedy přibližně 90 km/h? Porovnej zrychlení se zrychlením v důsledku gravitace.

Spočítej dostředivé zrychlení bodu ve vzdálenosti $7,5\text{cm}$‍ od osy otáčení ultracentrifugy otáčející se rychlostí $7,5\cdot {10}^4$‍ otáček za minutu.