If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Kirchhoffovy zákony - příklady

Kirchhoffovy zákony jsou dva a popisují proud ve větvi elektrického obvodu a napětí ve smyčce elektrického obvodu. Tyto zákony jsou základem rozboru složitějších obvodů. 
Kirchhoffovy zákony pro proud a napětí, spolu se základními rovnicemi pro jednotlivé součástky (rezistory, kapacitory, cívky), tvoří základní sadu nástrojů potřebných k analýze elektrických obvodů.
Tento článek předpokládá, že znáš základní pojmy: uzel, větev a smyčka.
Také se ti může hodit mít po ruce tužku a papír.

Proudy tekoucí do uzlu

Než začneme s teorií, zkus si jeden příklad samostatně. Na obrázku vidíš čtyři proudy tekoucí do uzlu (oblasti ohraničené dvěma tečkami) a ven. Čísla znázorňují velikost proudu v miliampérech (start text, m, A, end text). Jeden z nich, start color #11accd, I, end color #11accd, je neznámý.
Úloha 1: Jaká je velikost proudu I?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Tady je další příklad, tentokrát s proměnnými místo čísel. Tento uzel spojuje 5 větví. Každou z větví může (ale nemusí) protékat proud I, start subscript, 1, end subscript, start text, a, z, with, \v, on top, end text, I, start subscript, 5, end subscript.
Podle obrázku všechny proudy tečou dovnitř do uzlu. Tato volba směru je libovolná, mohli jsme je klidně nakreslit obráceně. Důležité je, že máme nějaký referenční směr, o kterém tvrdíme, že proud, který jím teče, je kladný.
Podívej se na proud I, start subscript, 1, end subscript.
Kterým směrem teče?
Proud I, start subscript, 1, end subscript vtéká do uzlu (zakresleného černou tečkou).
Co se děje potom?
Víme o dvou věcech, které I, start subscript, 1, end subscript nemůže: Tekoucí náboj proudu I, start subscript, 1, end subscript nemůže zůstat uvnitř uzlu (uzly nejsou elektrickými součástkami, které uchovávají elektrický náboj). Kromě toho nemůže I, start subscript, 1, end subscript ani přeskočit z drátu do vzduchu. Za běžných okolností se náboj drží svého vodiče.
Co mu zbývá? Proud musí vytéct z uzlu ven jednou nebo několika jinými větvemi.
V našem příkladu bychom to mohli napsat rovnicí:
I, start subscript, 1, end subscript, plus, I, start subscript, 2, end subscript, plus, I, start subscript, 3, end subscript, plus, I, start subscript, 4, end subscript, plus, I, start subscript, 5, end subscript, equals, 0
Je-li I, start subscript, 1, end subscript kladný proud tekoucí do uzlu, pak jeden nebo více jiných proudů musí vytékat ven. Tyto proudy budou mít záporné znaménko minus.
Tento poznatek o chování proudů protékajících uzlem zachycuje první Kirchhoffův zákon (někdy Kirchhoffův zákon o proudech, nebo o uzlech).

První Kirchhoffův zákon

První Kirchhoffův zákon (někdy Kirchhoffův zákon o proudech, nebo o uzlech) říká, že součet všech proudů proudících do uzlu se rovná součtu proudů vytékajících z uzlu. Může být napsán jako:
sum, I, start subscript, d, o, v, n, i, t, r, with, \check, on top, end subscript, equals, sum, I, start subscript, v, e, n, end subscript

Ověření pochopení prvního Kirchhoffova zákona

Proudy jsou v miliampérech (start text, m, A, end text).
Úloha 2: Jak velký je proud I, start subscript, 5, end subscript?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Úloha 3: Jak velký je proud I, start subscript, 3, end subscript?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Napětí ve smyčce

Na obrázku je elektrický obvod se čtyřmi rezistory a zdrojem napětí. Vyřešíme jej celý pomocí Ohmova zákona, a potom se na něj podíváme podrobněji. Prvním krokem v analýze obvodu je určení proudu, který jím protéká. Pak zjistíme napětí na jednotlivých rezistorech.
Vidíme, že jde o sériově zapojený obvod, takže všemi pěti prvky protéká jediný proud start color #11accd, i, end color #11accd. K určení proudu start color #11accd, i, end color #11accd nahradíme čtveřici sériově zapojených rezistorů jediným ekvivalentním rezistorem:
R, start subscript, s, e, with, acute, on top, r, i, e, end subscript, equals, 100, plus, 200, plus, 300, plus, 400, equals, 1000, \Omega
Z Ohmova zákona vypočítáme, že proud je:
start color #11accd, I, end color #11accd, equals, start fraction, U, divided by, R, start subscript, s, e, with, acute, on top, r, i, e, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 20, start text, V, end text, divided by, 1000, \Omega, end fraction, equals, 0, comma, 020, start text, A, end text, equals, 20, start text, m, A, end text
Teď když známe proud můžeme určit i napětí na jednotlivých rezistorech. Vraťme se k původnímu schématu a označme úbytky napětí na jednotlivých prvcích.
Napětí na každém rezistoru určíme pomocí Ohmova zákona. Celkem to musíme provést čtyřikrát:
U, empty space, equals, start color #11accd, I, end color #11accd, start text, R, end text
U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 100, \Omega, equals, plus, 2, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 200, \Omega, equals, plus, 4, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 300, \Omega, equals, plus, 6, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 400, \Omega, equals, plus, 8, start text, V, end text
Známe proud a všechna napětí. Analýza obvodu je dokončena.
Můžeme napsat všechna zjištěná napětí do schématu. O těchto napětích budeme mluvit jako o napětích na součástkách. Uzly obvodu jsou označeny písmeny od start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f, abychom snadno našli místa, která budeme rozebírat.
Udělejme rychlou zkoušku. Sečtěme napětí na všech rezistorech.
2, start text, V, end text, plus, 4, start text, V, end text, plus, 6, start text, V, end text, plus, 8, start text, V, end text, equals, 20, start text, V, end text
Součet napětí na jednotlivých rezistorech je roven napětí zdroje. To dává smysl a potvrzuje naše výpočty.
Teď to sčítání hodnot napětí zkusíme znovu, ale trochu jiným způsobem: půjdeme kolem smyčky. Není to žádný nový poznatek, jenom provádíme stejný výpočet jiným způsobem.

Součet napětí na součástkách

Krok 1: Vybereme si výchozí uzel.
Krok 2: Vybereme si směr, ve kterém budeme postupovat podél smyčky (po nebo proti směru hodinových ručiček).
Krok 3: Postupujeme podél smyčky.
Kdykoli narazíme na součástku, přidáme jí k součtu podle následujících pravidel:
  • Když narazíme na nový prvek, podíváme se na znaménka jeho úbytku napětí.
  • Jde-li znaménko od kladného k zápornému (od plus k minus), napětí při průchodu prvkem klesne. Napětí na tomto prvku od součtu odečteme.
  • Jde-li znaménko od záporného ke kladnému (od - k +), napětí při průchodu prvkem naroste. Napětí na tomto prvku od součtu přičteme.
Krok 4: Pokračujeme, dokud se nevrátíme do počátečního bodu.

Jak na průchod smyčkou

Projděme si náš postup krok za krokem.
  1. Začněme v uzlu vlevo dole (uzel start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f).
  2. Postupujme po směru hodinových ručiček.
Takto vypadá vyřešený obvod.
  1. První součástka, na kterou narazíme, je zdroj napětí. Jako první u něj vidíme znaménko minus, což znamená, že když projdeme skrz, napětí vzroste. Podle kroku 3. zahájíme náš součet přičtením napětí zdroje.
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text při průchodu zdrojem napětí do uzlu start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f.
Dále narazíme na rezistor o odporu 100, \Omega. Ve směru naší cesty u něj vidíme znaménko plus, což znamená, že na něm dojde k úbytku napětí. Tentokrát musíme napětí odečíst.
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text při průchodu 100, \Omega rezistorem do uzlu start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f.
Jdeme dál. Narazíme na rezistor o odporu 200, \Omega a zase vidíme jako první znaménko plus, takže napětí odečteme.
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text při průchodu 200, \Omega rezistorem do uzlu start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923f.
Do konce smyčky nám už zbývají jenom dva prvky:
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text při průchodu 300, \Omega rezistorem do uzlu start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f.
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, minus, 8, start text, V, end text po 400, \Omega rezistoru.
(Ověř si v diagramu, že jsou poslední dvě znaménka minus správně.)
  1. Hotovo. Dostali jsme se zpátky do uzlu start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f. Jak vyhodnotíme výraz pro U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript?
U, start subscript, s, m, y, c, with, \check, on top, k, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, minus, 8, start text, V, end text, equals, 0
Součet všech napětí po průchodu smyčkou je 0. Počáteční a koncový uzel je stejný, takže počáteční a koncové napětí se také musí shodovat. Na našem "okruhu" jsme prošli přírůstky a poklesy napětí, a ty se všechny vyrušily, když jsme došli zpátky na začátek. To je důsledkem konzervativnosti elektrických sil. Když dojdeme tam, kde jsme začali, celkem jsme nezískali ani neztratili žádnou energii.
Zkusme jiný příklad, opět s proměnnými místo konkrétních čísel. Následující schéma má opět označené úbytky napětí a uzly. Na rezistorech je polarita označena netradičně, protože všechny šipky míří stejným směrem. Pomůže nám to odhalit zajímavou vlastnost smyček.
Pojďme postupovat kolem smyčky a cestou budeme sčítat napětí. Začneme v uzlu start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f lvevo dole a půjdeme po směru hodinových ručiček (tento směr je libovolný, opačný funguje stejně).
Cestou z uzlu start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f směrem nahoru jako první narazíme na záporné znaménko zdroje napětí, takže víme, že když jím projdeme, dojde k nárůstu napětí U, start subscript, a, b, end subscript. Protože se napětí zvýší, přidáme jej do našeho výpočtu se znaménkem plus.
Pokračujeme podél smyčky z start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923fdo start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f pak zpátky domů do start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f. Po cestě přičítáme napětí na rezistorech. Cestou vždycky jako potkáváme znaménka minus, takže jde o přírůstky a do rovnice zapisujeme se znaménkem plus. Výsledný součet vypadá takto:
plus, U, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript
Co z tohoto součtu dostaneme? Podívejme se na to.
Smyčka začíná a končí ve stejném uzlu, takže počáteční a koncová napětí jsou shodná. Šli jsme kolem smyčky a dostali se zpátky na stejné napětí. To znamená, že součet napětí musí být nulový. Pro naši vzorovou smyčku bychom to napsali takto:
U, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 0
Tento poznatek o napětích ve smyčce je známý jako druhý Kirchhoffův zákon (zákon o napětích, o smyčkách).

Druhý Kirchhoffův zákon

Druhý Kirchhoffův zákon zní: Součet napětí ve smyčce je roven nule.
Matematicky můžeme zákon napsat jako:
sum, start subscript, n, end subscript, U, start subscript, n, end subscript, equals, 0
kde n je počet napětí na součástkách ve smyčce.
Druhý Kirchhoffův zákon, zvaný také Kirchhoffův zákon o napětích, můžeme vyjádřit i takto: Součet přírůstků napětí ve smyčce se rovná součtu úbytků napětí v téže smyčce.
sum, U, start subscript, p, r, with, \check, on top, ı, with, acute, on top, r, u, with, \mathring, on top, s, t, k, y, end subscript, equals, sum, U, start subscript, u, with, acute, on top, b, y, t, k, y, end subscript
Druhý Kirchhoffův zákon má několik zajímavých vlastností:
  • Cestu kolem smyčky lze zahájit v libovolném uzlu. Stačí ujít celou cestu kolem a součet napětí bude roven nule.
  • Kolem smyčky lze jít libovolným směrem, po nebo proti směru hodinových ručiček. Druhý Kirchhoffův zákon funguje v obou případech.
  • Má-li obvod více smyček, platí druhý Kirchhoffův zákon pro každou z nich.

Co když jsou všechna napětí kladná?

Přemýšlíš-li, jak mohou být všechna napětí kladná, když je jejich součet rovný nule, vzpomeň si, že šipky a znaménka polarity jsou jenom referenční. Na konci analýzy vyjde u jednoho nebo více prvků obvodu záporná hodnota, což znamená, že míří opačným směrem, než naznačuje šipka. Znaménka napětí se zpravidla vytříbí během výpočtů.

Ověř si, jestli chápeš druhý Kirchhoffův zákon

Úloha 4: Jaké je napětí u, start subscript, R, 3, end subscript?
Připomínka: při postupu podél smyčky sleduj první znaménko, které vidíš u jednotlivých prvků obvodu.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Shrnutí

Na řešení elektrických obvodů jsme získali dva nové pomocníky.
První Kirchhoffův zákon řeší proudy protékající uzlem:
sum, start subscript, n, end subscript, I, start subscript, n, end subscript, equals, 0
Druhý Kirchhoffův zákon řeší napětí na součástkách ve smyčce:
sum, start subscript, n, end subscript, U, start subscript, n, end subscript, equals, 0
Budeme jim říkat podle jejich iniciál, I. KZ a II. KZ.
Chceme-li správně řešit úlohy, musíme si pamatovat, že nejdůležitější je dávat pozor na znaménka proudu a napětí. Je to jedna ze základních dovedností dobrého elektrikáře i studentů fyziky.