Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:11:07

Transkript

V minulém videu jsme maličko shrnuli draslík-argonové datování. V tomto videu, bych rád prošel konkrétní příklad. Bude tu trochu více počítání, obvykle zahrnující trochu algebry nebo trochu exponenciálního rozpadu, ale ukážu vám tu, jak vlastně můžete zjistit stáří nějaké vulkanické horniny, za použití této metody a použitím trochu matematiky. Víme, že cokoli, co podléhá radioaktivnímu rozpadu, podléhá exponenciálnímu rozpadu. A víme, že existuje obecný postup, jak jej popsat. Více do hloubky, i co se týká důkazu, půjdeme v dalších videích Khanovy akademie. Ale víme, že množství jako funkce času, řekněme, že N je množství radioaktivního vzorku, který máme v nějakém čase - víme, že toto je rovno počátečnímu množství, které máme, nazvěme jej N s indexem 0, krát e na -kt. Tato konstanta se vztahuje k poločasu rozpadu látky. A abychom si to vyjasnili, podíváme se na případ draslíku 40. Víme, že po 1,25 miliardách let nám z látky zbyde polovina jejího původního množství. Napišme si to. Řekněme, že jsme tedy začali s množstvím N0, ať to znamená cokoliv. Může to být 1 gram, 1 kilogram, 5 gramů… Ať je to cokoliv, ať začneme s čímkoliv, vezmeme e na -k krát 1,25 miliard let. To je poločas rozpadu draslíku 40. Takže 1,25 miliard let. Víme, že po tak dlouhé době nám zbyde polovina původního vzorku. Budeme tedy mít ½ N0. Ať jsme začali s čímkoliv, po 1,25 miliardách let nám z toho zbyde polovina. Podělme obě strany veličinou N0. A abychom získali "k", vezmeme přirozený logaritmus obou stran. Dostanete tedy, že logaritmus ½ -- teď tu již nemáme N0 -- je roven logaritmu téhle věci. Přirozený logaritmus nám mimochodem říká, na co musíme umocnit e, abychom získali e na -k krát 1,25 miliard. Takže přirozený logaritmus tohoto -- číslo, na které musíme umocnit e, abychom získali e na -k krát 1,25 miliard -- je zkrátka -k krát 1,25 miliard. Nebo to mohu napsat jako minus 1,25 krát 10 na 9 krát k. To je totéž co 1,25 miliard. Máme tu minus a máme tu "k". A nyní, abychom získali "k", můžeme obě strany podělit minus 1,25 miliardami. A tak získáme "k". Tady prohodím strany. k je rovno přirozenému logaritmu ½ děleno minus 1,25 krát 10 na 9. Minusem můžeme násobit hodnotu v čitateli. Nebo si to můžete představit tak, že násobíme čitatel i jmenovatel minusem, takže se minus objeví nahoře. Můžeme tedy psát lomeno 1,25 krát 10 na 9, to je 1,25 miliard. Teď tady budu psát jinou barvou. Minus přirozený logaritmus… podívejme se raději na toto: pokud mám a krát přirozený logaritmus b, víme z vlastností logaritmu, že je to totéž jako přirozený logaritmus b na a-tou. Minus přirozený logaritmus ½ je tedy totéž, jako logaritmus ½ na minus prvou. Je to tedy totéž. Cokoliv na minus prvou je zkrátka obrácená hodnota, je to tedy přirozený logaritmus 2. Minus přirozený logaritmus ½ zde tedy napíšeme jako logaritmus 2. Určili jsme si tedy své "k". Je to v podstatě logaritmus 2 lomeno poločas rozpadu látky. Tohle nakonec můžeme zobecnit, když budeme hovořit o jiné radioaktivní látce. Nyní si představme následující situaci -- když známe "k", představme si situaci, že v nějakém vzorku najdeme nějaké množství draslíku, řekněme 1 miligram. Čísla si teď budu vymýšlet. Množství nebývají měřena přímo, obvykle nás víc zajímají poměry. Ale řekněme, že jste určili, že draslíku je 1 miligram. A také jste našli argon… U draslíku se jednalo o draslík 40, a argonu 40 jste našli -- řekněme 0,01 miligramu. Jak teď můžeme využít této informace, v souvislosti s tím, co jsme si odvodili z poločasu rozpadu, k určení stáří takového vzorku? Jak zjistíme, jak je starý tento vzorek? Musíme si uvědomit následující: víme že "n", množství, které nám zbylo, je přesně tahleta věc. Víme, že nám zbyl 1 miligram. A to bude rovno nějakému počátečnímu množství -- když využijeme obě tyto informace k určení tohoto počátečního množství -- krát e na minus k krát t. Známe "k". A odvodíme si to později. "k" je tahle věc. Potřebujeme tedy zjistit, jaké je počáteční množství. Víme, co je "k", a můžeme si vyjádřit "t". Jak je tento vzorek starý. A abychom určili počáteční množství, musíme pamatovat na to, že každý argon 40, který vidíme, musel z něčeho vzniknout rozpadem: Máme-li na začátku draslík 40, rozpadá se 11% z něj na agon 40 a zbytek, tedy 89%, se rozpadá na vápník 40. To jsme viděli v minulém videu. Takže ať je argonu 40 kolik chce, je to 11% z celkového produktu rozpadu. Pokud tedy chceme uvažovat o celkovém množství draslíku 40, který se rozpadl od doby, kdy se dostal do lávy -- a víme, že cokoliv, co by zde bylo dřív, jakýkoliv argon 40, který by tu byl dřív, by se z kapalné lávy vypařil dříve, než zamrzla nebo příliš ztuhla. Abychom tedy zjistili, z jakého množství draslíku 40 toto vzniklo, podělíme to 11%. Řekneme tedy, že počáteční K -- množství draslíku 40 na počátku -- bude rovno současnému množství draslíku 40 -- 1 miligramu -- plus množství draslíku 40, které je potřeba ke vzniku tohoto množství argonu 40. Argonu 40 máme 0,01 miligramů. A tento počet miligramů je ve skutečnosti jen 11% původního draslíku 40, ze kterého to vzniklo. Zbytek se přeměnil na vápník 40. Vydělíme to tedy 11%, neboli 0,11. Tahle hodnota není úplně přesná, ale pomůže nám pochopit princip. Naše počáteční hodnota, což je právě to, co jsme si tu napsali. Budu jí říkat N0. Tohle bude rovno -- a teď se již nebudu vracet k matematice -- 1 miligram, který nám zbyl, je roven 1 miligramu, který jsme našli, plus 0,01 miligramům lomeno 0,11. To celé krát e na minus k krát t. A teď již vidíme, že pokud hledáme "t", za předpokladu, že známe "k" -- a to skutečně známe -- tak nám nezáleží na absolutním množství. Záleží jen na poměru. Hledáme-li totiž "t", dělíme obě strany této rovnice tímto výrazem. Na této straně, na levé straně, dostanete 1 miligram lomeno tímto množstvím -- zapíši je modře -- bude to 1 plus… Budu předpokládat, že jednotkami jsou tu miligramy. Dostanete tedy 1 lomeno tímhle množstvím, což je 1 plus 0,01 lomeno 11%. To je rovno e na minus kt. A chcete-li nyní vyjádřit "t", vezmete přirozený logaritmus obou stran. Sem patří "=". Vezmete přirozený logaritmus obou stran. Vezmete přirozený logaritmus 1 lomeno 1 plus 0,01 lomeno 0,11 (neboli 11%) je rovno záporně vzatému kt. A pak, abyste si vyjádřili "t", vydělíte obě strany minus k. Napíši to sem. Tohle je matematicky trochu těžkopádné, avšak blížíme se k cíli. Máme tedy přirozený logaritmus 1 lomeno 1 plus 0,01 lomeno 0,11 lomeno minus k. Copak je minus k? Obě strany rovnice dělíme minus k. Minus k je záporně vzaté tohle. Takže lomeno minus přirozený logaritmus 2 lomeno 1,25 krát 10 na 9. A teď můžeme vytáhnout kalkulačku a dopočítat tento čas. A výsledek dostaneme v letech, protože tak jsme si zavedli tuto konstantu. Tady je moje TI-85. Nejdřív vyřeším tuto část. Máme tedy 1 děleno (1 plus 0,01 děleno 0,11). To je tedy tahle část Dává nám tento výsledek. A teď chceme vzít jeho přirozený logaritmus. Bereme tedy přirozený logaritmus předchozí odpovědi. To jest přirozený logaritmus 0,9166667. Dostaneme minus 0,087. To je tedy tenhle čitatel. A to budeme dělit. Takže, tohle číslo je náš čitatel, který budeme dělit -- budu opatrný se závorkami -- záporně vzatým přirozeným logaritmem 2 -- to je tohle -- děleno 1,25 krát 10 na 9. To je tedy minus logaritmus 2 děleno 1,25… E9 znamená 10 na 9. A uzavřel jsem oboje závorky. A nyní už slyšíme víření bubnů. Tohle by nám mělo dát "t" v letech. Podívejme se, kolik -- tohle jsou tisíce, 3 tisíce, -- máme tedy 156 milionů, nebo 156,9 milionů let, když to zaokrouhlíme. Tohle je tedy asi 157 milionů let starý vzorek. O co nám tedy šlo. Vím, že byla zapotřebí trocha matematiky, ale pokud šlo o exponenciální růst nebo rozpad, nebylo to nic, co byste již nepotkali na střední škole. Ale toto celé jsem chtěl ukázat proto, abyste viděli, že to není nějaké šílené voodoo. Jak víte, Sal tohle vysvětloval na dost vysoké úrovni, a pak si řeknete: no prima, za tímhle bude nějaká super těžká matematika. Přitom jde o matematiku, kterou znáte ze střední školy. Když najdete vzorek, který má takovýto poměr argonu 40 ku draslíku 40, bude vám vlastně stačit použít středoškolskou matematiku. To vám postačí, abyste zjistili, že tohle je 157 milionů let starý vzorek vulkanické horniny.