Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 4

Lekce 1: Úvod do vytýkání

Úvod do dělitelů a dělitelnosti

Zjisti, co u mnohočlenu znamená, že může být dělený jiným mnohočlenem, nebo že je jím dělitelný.

Co je třeba před touto lekcí znát

Jednočlen je výraz, který můžeme zapsat jako součin čísla a nezáporné mocniny

x

, například

3 x^{2}

. Mnohočlen je výraz sestávající z několika jednočlenů, například

3 x^{2} + 6 x - 1

Co se v této lekci naučíme

V této lekci se budeme zabývat vztahem mezi děliteli a dělitelností mnohočlenů. Také se naučíme, jak určit, zdali je jeden mnohočlen dělitelem jiného mnohočlenu.

Dělitele a dělitelnost celých čísel

Obecně platí, že při násobení dvou celých čísel budou obě tato čísla dělitele výsledného čísla.

Například protože $14 = 2 \cdot 7$ ‍, víme, že $2$ ‍ a $7$ ‍ jsou dělitelé čísla $14$ ‍.

Číslo je dělitelné jiným číslem, pokud je jejich podíl celé číslo.

Například $\frac{15}{3} = 5$ ‍ a $\frac{15}{5} = 3$ ‍. Číslo $15$ ‍ je proto dělitelné čísly $3$ ‍ a $5$ ‍. Naopak ale $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍, proto $9$ ‍ není dělitelné $4$ ‍.

Všimni si vzájemného vztahu mezi děliteli a dělitelností:

Jelikož

14 = 2 \cdot 7

(tudíž

2

je dělitelem

14

), víme, že

\frac{14}{2} = 7

(tzn.

14

je dělitelné

2

V opačném pořadí, jelikož

\frac{15}{3} = 5

(tedy

15

je dělitelné

3

), víme, že

15 = 3 \cdot 5

(číslo

3

je dělitelem

15

Obecně platí: Pokud je

a

dělitelem

b

, pak je

b

dělitelné

a

, a naopak.

Dělitele a dělitelnost mnohočlenů

Tyto znalosti lze aplikovat i na mnohočleny.

Když mezi sebou násobíme dva nebo více mnohočlenů, je každý z nich dělitelem jejich součinu.

Například víme, že $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. To znamená, že $2 x$ ‍ a $x + 3$ ‍ jsou dělitele $2 x^{2} + 6 x$ ‍.

Mnohočlen je rovněž dělitelný jiným mnohočlenem, pokud je jejich podíl také mnohočlen.

Například $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ a $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, tudíž $6 x^{2}$ ‍ je dělitelné $3 x$ ‍ a $2 x$ ‍. Naopak ale $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, proto víme, že $4 x$ ‍ není dělitelné $2 x^{2}$ ‍.

Stejný vztah mezi děliteli a dělitelností, jako jsme viděli u celých čísel, lze použít i zde:

Obecně platí, že když

p = q \cdot r

, kde

p

q

r

jsou mnohočleny, víme následující:

$q$ ‍ a $r$ ‍ jsou děliteli $p$ ‍.
$p$ ‍ je dělitelné $q$ ‍ a $r$ ‍.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Doplň následující větu o vztazích v mnohočlenu $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) Učitelka napsala na tabuli následující součin:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Miloš dospěl k závěru, že

3 x^{2}

je dělitelem

12 x^{3}

Jirka zjistil, že

12 x^{3}

je dělitelné

4 x

Kdo má pravdu?

Určování dělitelů a dělitelnosti

Příklad 1: Je $24 x^{4}$ ‍ dělitelné $8 x^{3}$ ‍?

Abychom si odpověděli na tuto otázku, stačí nám vypočítat a zjednodušit

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Pokud bude výsledek jednočlen, pak je

24 x^{4}

dělitelné

8 x^{3}

. Pakliže by výsledek jednočlen nebyl,

24 x^{4}

není dělitelné

8 x^{3}

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

Jelikož je výsledkem jednočlen, víme, že

24 x^{4}

je dělitelné

8 x^{3}

. (To také značí, že

8 x^{3}

je dělitelem

24 x^{4}

Příklad 2: Je $4 x^{6}$ ‍ dělitelem $32 x^{3}$ ‍?

Pokud je

4 x^{6}

dělitelem

32 x^{3}

, pak je

32 x^{3}

dělitelné

4 x^{6}

. Pojďme tedy najít a zjednodušit

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

Všimni si, že

\frac{8}{x^{3}}

není jednočlen, protože se jedná o podíl, ne o součin. Proto můžeme říct, že

4 x^{6}

není dělitelem

32 x^{3}

Shrnutí

Obecně platí, že když chceme zjistit, zdali je jeden mnohočlen

p

dělitelný jiným mnohočlenem

q

, tedy jestli je

q

dělitelem

p

, najdeme a prozkoumáme

\frac{p (x)}{q (x)}

Pokud je zjednodušený výsledek mnohočlen, je

p

dělitelné

q

q

je dělitelem

p

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Je $30 x^{4}$ ‍ dělitelné $2 x^{2}$ ‍?

4) Je $12 x^{2}$ ‍ dělitelem $6 x$ ‍?

Těžší příklady

5*) Které z následujících jednočlenů jsou dělitele $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ?

	Dělitel	Není dělitel
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Zdali je jednočlen

A

dělitelem

15 x^{2} y^{6}

můžeme zjistit vydělením

15 x^{2} y^{6}

jednočlenem

A

a zkontrolováním podílu:

Pojďme to vyzkoušet na daných jednočlenech!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Jelikož

3 x y^{6}

5 y

jsou oba jednočleny, můžeme říct, že

5 x

3 x^{2} y^{5}

jsou děliteli

15 x^{2} y^{6}

Všimni si, že výraz

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

má

x^{2}

ve jmenovateli, tudíž to není jednočlen. Proto můžeme říct, že

10 x^{4} y^{3}

není dělitelem

15 x^{2} y^{6}

6*) Obsah obdélníku o šířce

x + 1

jednotek a délce

x + 4

jednotek je

x^{2} + 5 x + 4

jednotek čtverečních.

Které z následujících možností jsou děliteli $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

Proč nás zajímá rozklad mnohočlenů na součin?

Stejně jako se rozklad na součin u celých čísel ukázalo být velmi užitečné pro řadu věcí, hodí se nám i rozklad na součin u mnohočlenů.

Rozklad mnohočlenů na součin může být užitečné při řešení kvadratických rovnic a zjednodušování racionálních výrazů.

Pokud chceš vědět víc, koukni se na tyto články:

Co dál?

Dalším krokem je naučit se jak dělit jednočleny. To najdeš v našem dalším článku.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 4

Co je třeba před touto lekcí znát

Co se v této lekci naučíme

Dělitele a dělitelnost celých čísel

Dělitele a dělitelnost mnohočlenů

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Určování dělitelů a dělitelnosti

Příklad 1: Je 24x4‍ dělitelné 8x3‍ ?

Příklad 2: Je 4x6‍ dělitelem 32x3‍ ?

Shrnutí

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Těžší příklady

Proč nás zajímá rozklad mnohočlenů na součin?

Co dál?

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Je $24 x^{4}$ ‍ dělitelné $8 x^{3}$ ‍?

Příklad 2: Je $4 x^{6}$ ‍ dělitelem $32 x^{3}$ ‍?