Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 4

Lekce 4: Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním společných dělitelů

Rozklad mnohočlenů na součin vytknutím společného dělitele

Nauč se, jak z mnohočlenu vytknout společného dělitele, například jak výraz 6x²+10x rozložit jako 2x(3x+5).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Největší společný dělitel dvou či více jednočlenů je roven součinu všech jejich společných prvočíselných dělitelů. Například největší společný dělitel jednočlenů

6 x

4 x^{2}

2 x

Pokud je toto pro tebe nové, můžeš se podívat na článek o největším společném děliteli jednočlenů.

Co se v této lekci dozvíš

V této lekci se naučíš, jak z mnohočlenů vytýkat společné dělitele.

Distributivita: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Abychom se naučili vytýkat společné dělitele, musíme se nejprve obeznámit s distributivitou.

Distributivitu můžeme použít například k určení součinu

3 x^{2}

4 x + 3

, a to takto:

Povšimni si, že každý člen v našem dvojčlenu byl vynásoben

3 x^{2}

Ale protože distributivita je rovností, opačný postup jde taky použít!

Když začneme s

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, můžeme použít distributivitu a vytknout

3 x^{2}

, čímž získáme

3 x^{2} (4 x + 3)

Výsledný výraz je rozložený na součin, protože je zapsán jako součin dvou mnohočlenů, zatímco původní výraz byl ve tvaru součtu dvou členů.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ na součin mnohočlenů.

Vytýkání největšího společného dělitele

Abychom z mnohočlenu vytkli jeho největšího společného dělitele, provedeme následující:

Najdeme největšího společného dělitele všech členů v mnohočlenu.
Každý člen vyjádříme jako součin tohoto největšího společného dělitele a nějakého jiného činitele.
Největšího společného dělitele vytkneme pomocí distributivity.

Zkusme vytknout největšího společného dělitele z mnohočlenu

2 x^{3} - 6 x^{2}

Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Největší společný dělitel mnohočlenu

2 x^{3} - 6 x^{2}

je tak

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu $2 x^{2}$ ‍ a jiného činitele.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele

Nyní už můžeme vytknout

2 x^{2}

pomocí distributivity.

Kontrola našeho výsledku

Výsledný rozklad na součin si můžeme zkontrolovat zpětným vynásobením členem

2 x^{2}

, čímž získáme zase mnohočlen.

Poněvadž tento mnohočlen je stejný jako původní mnohočlen, náš rozklad na součin je správný!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Vytkni největšího společného dělitele z mnohočlenu $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele

$12 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$18 x = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x$ ‍

Největší společný dělitel mnohočlenu

12 x^{2} + 18 x

je tak

2 \cdot 3 \cdot x

neboli

6 x

Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu $6 x$ ‍ a jiného činitele.

$12 x^{2} = (6 x) (2 x)$ ‍
$18 x = (6 x) (3)$ ‍

Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako

12 x^{2} + 18 x = (6 x) (2 x) + (6 x) (3)

Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele

Nyní už můžeme vytknout

6 x

pomocí distributivity.

Největší společný dělitel se z mnohočlenu $12 x^{2} + 18 x$ ‍ vytkne takto: $6 x (2 x + 3)$ ‍.

3) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele

$10 x^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x$ ‍
$25 x = 5 \cdot 5 \cdot x$ ‍
$15 = 3 \cdot 5$ ‍

Největší společný dělitel mnohočlenu

10 x^{2} + 25 x + 15

je tak

5

Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu $5$ ‍ a jiného činitele.

$10 x^{2} = (5) (2 x^{2})$ ‍
$25 x = (5) (5 x)$ ‍
$15 = (5) (3)$ ‍

Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako

10 x^{2} + 25 x + 15 = (5) (2 x^{2}) + (5) (5 x) + (5) (3)

Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele

Nyní už můžeme vytknout

5

pomocí distributivity.

Největší společný dělitel se z mnohočlenu $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍ vytkne takto: $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍.

4) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$x^{2} = x \cdot x$ ‍

Největší společný dělitel mnohočlenu

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

je tak

x \cdot x

neboli

x^{2}

Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu $x^{2}$ ‍ a jiného činitele.

$x^{4} = (x^{2}) (x^{2})$ ‍
$8 x^{3} = (x^{2}) (8 x)$ ‍
$x^{2} = (x^{2}) (1)$ ‍

Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = (x^{2}) (x^{2}) - (x^{2}) (8 x) + (x^{2}) (1)

Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele

Nyní už můžeme vytknout

x^{2}

pomocí distributivity.

Největší společný dělitel se z mnohočlenu $x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}$ ‍ vytkne takto: $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍.

Můžeme být efektivnější?

Pokud se cítíš dostatečně obeznámen s vytýkáním největšího společného dělitele, můžeš vyzkoušet rychlejší metodu:

Když už známe největšího společného dělitele, rozklad na součin je pak jednoduše součin tohoto největšího společného dělitele a součtu členů v původním mnohočlenu vydělených největším společným dělitelem.

Podívej se, jak můžeme využít tuto rychlejší metodu k rozkladu mnohočlenu

5 x^{2} + 10 x

, jehož největší společný dělitel je

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Vytýkání dvoučlenných dělitelů

Společný dělitel v mnohočlenu nemusí být vždy jednočlen.

Uvažujme například mnohočlen

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Všimni si, že dvojčlen

2 x - 1

se vyskytuje v obou členech. Můžeme ho tudíž vytknout pomocí distributivity:

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Různé typy rozkladů na součin

Mohlo by se zdát, že jsme termín "rozložit na součin" použili pro několik rozdílných postupů:

Rozkládali jsme jednočleny tak, že jsme je rozepsali jako součin jiných jednočlenů. Například $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Rozkládali jsme mnohočleny na součin tak, že jsme pomocí distributivity vytkli největšího společného dělitele. Například $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Vytýkali jsme společné dvojčlenné dělitele, což vyústilo v rozklad výrazu na součin dvou dvojčlenů. Například $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍.

Zatímco jsme možná použili rozdílné metody, v každém případě jsme rozepisovali mnohočlen jako součin dvou či více činitelů. V každém ze tří případů jsme tedy opravdu rozložili mnohočlen na součin.

Těžší příklady

6*) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele

$12 x^{2} y^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

Největší společný dělitel mnohočlenu

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

je tak

6 x^{2} y^{2}

Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu $6 x^{2} y^{2}$ ‍ a jiného činitele.

$12 x^{2} y^{5} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3})$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})$ ‍

Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})

Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele

Nyní už můžeme vytknout

6 x^{2} y^{2}

pomocí distributivity.

Zadaný mnohočlen na součin rozložíme jako

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

7*) Velký obdélník s obsahem

14 x^{4} + 6 x^{2}

metrů čtverečných je rozdělen na dva menší obdélníky s obsahy

14 x^{4}

6 x^{2}

metrů čtverečných.

Výška tohoto obdélníku (v metrech) je rovna největšímu společnému děliteli

14 x^{4}

6 x^{2}

Jaká je délka a výška velkého obdélníku?

Šířka =

Délka =

Víme, že výška obdélníku je rovna největšímu společnému děliteli

14 x^{4}

6 x^{2}

. Pojďme ho najít!

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Protože největší společný dělitel je

2 x^{2}

, výška obdélníku je

2 x^{2}

Délku velkého obdélníku můžeme zjistit tak, že určíme délky menších obdélníků. Toho dosáhneme použitím vzorce

S = (d) \cdot (v)

(Obsah = Délka \cdot Výška)

a toho, že

v = 2 x^{2}

$\begin{aligned} Obdélník s obsahem 14 x^{4} \\ 14 x^{4} = (d) (2 x^{2}) \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = d \\ 7 x^{2} = d \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} Obdélník s obsahem 6 x^{2} \\ 6 x^{2} = (d) (2 x^{2}) \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = d \\ 3 = d \end{aligned}$ ‍

Tyto délky sečteme a dostaneme, že délka velkého obdélníku je

7 x^{2} + 3

Povšimni si, že tentýž výsledek bychom dostali, kdybychom byli vytkli

2 x^{2}

z obsahu velkého obdélníku, tj. z

14 x^{4} + 6 x^{2}

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

Tak i tak vidíme, že délka velkého obdélníku je $7 x^{2} + 3$ ‍ metrů.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 4

Co je před touto lekcí třeba vědět

Co se v této lekci dozvíš

Distributivita: a(b+c)=ab+ac‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Vytýkání největšího společného dělitele

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Můžeme být efektivnější?

Vytýkání dvoučlenných dělitelů

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Různé typy rozkladů na součin

Těžší příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

Distributivita: $a (b + c) = a b + a c$ ‍