Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:7:02

Řešení exponenciálních rovnic pomocí vlastností exponentů (těžší příklady)

Transkript

Procvičme se ještě více v řešení rovnic s mocninami. Mám zde dvě rovnice s mocninami. Jako vždy, pozastavte si video a zkuste z obou vyjádřit 'x'. Dobrá, vyřešme nejdřív tuto fialovou. Možná jste si všimli, že mám na obou stranách různé základy. Bylo by dobré mít stejný základ. Když to vidíte, říkáte si, že 32 není mocnina 8. Nebo alespoň ne celočíselná mocnina. Ale obě čísla jsou mocninami 2. 32 je '2 na pátou'. 8 je '2 na třetí'. Původní rovnici tedy mohu přepsat a namísto 32 napíšu '2 na pátou'. A to bude umocněno na ('x' lomeno 3). To je rovno… A místo 8 budu psát '2 na třetí'. A to umocňuji na ('x' minus 12). Umocňuji-li něco a pak to celé umocním znovu, mohu jen vynásobit mocnitele. Levou stranu tedy můžu přepsat na '2 na (5x lomeno 3)'. Jen jsem vynásobil mocnitele. To se bude rovnat… Teď jen vynásobím 3 krát ('x' minus 12). Takže '2 na (3x minus 36)'. Teď se to krásně zjednodušilo, mám 2 umocněno na toto a to je rovno 2 umocněno na toto. Mocnitelé si tedy musí být rovny. (5x lomeno 3) musí být (3x minus 36). Položme je tedy do rovnosti a vyjádřeme 'x'. (5x lomeno 3) je rovno (3x minus 36). Můžeme obě strany vynásobit 3. Udělejme to. Pokud to uděláme, zde dostaneme 5x je rovno 9x minus 108. Teď odečteme 9x od obou stran. Dostaneme 5x minus 9x, to je -4x. -4x je rovno -108. Jsme téměř v cíli. Vydělíme obě strany -4. Zůstane nám 'x' je rovno 27. 'x' je rovno 27. A jsme hotovi. Pokud byste dosadili za 'x' sem, dostali byste 32 na (27 lomeno 3). Takže '32 umocněno na 9' je rovno 8 umocněno na (27 minus 12). Takže '8 umocněno na 15'. To byla zábava. Pusťme se do dalšího. Tento vypadá zajímavě z jiného důvodu. Máme zde racionální výraz. Mocninu v čitateli, mocninu ve jmenovateli. Musíme si uvědomit… Nejdříve bych rád udělal… Vyjádřím 25 pomocí 5. Víme, že 25 je '5 na druhou'. Můžeme to tedy přepsat jako '5 na (4x plus 3)' lomeno… Namísto 25 napíšu '5 umocněno na 2' a pak to umocním na (9 minus 'x'). To se pak samozřejmě bude rovnat '5 na (2x plus 5)'. '5 umocněno na 2' a to celé na (9 minus 'x'). Vynásobím mocnitele. To bude '5 na (4x plus 3)' lomeno '5 na…' 2 krát 9 je 18. 2 krát (-x) je -2x. To bude rovno '5 na (2x plus 5)'. Podívejme, je několik způsobů, jak na to. Mohli bychom vynásobit obě strany '5 na (18 minus 2x)'. To je jeden způsob. Nebo bychom mohli říct, že mám-li '5 na něco' děleno '5 na něco', mohl bych odečíst modrého mocnitele od žlutého. Levá strana se tedy zjednoduší na '5 na [4x plus 3 minus (18 minus 2x)]'. To se samozřejmě bude rovnat této pravé straně, '5 na (2x plus 5)'. Teď to musíme jen trochu upravit. Podívejme se, to bude rovno… Vlastně můžeme říct… Mám nějaké potíže s posunováním. Whoops. Dobrá. Můžeme říct, že tento mocnitel se musí rovnat tomuto, protože mají stejný základ. To co máme na levé straně můžu přepsat na 4x plus 3 minus 18 plus 2x. Násobím znaménko minus s oběma členy. To se bude rovnat 2x plus 5. Je několik možností, co s tím můžeme udělat. Mohli bychom odečíst 2x od obou stran, to nám to trochu vyčistí. Odečteme 2x od obou stran. Také bychom mohli odečíst 5 od obou stran. Tak to udělejme. Odečtu tedy 5 od obou stran. Přeskakuji nějaké kroky, ale předpokládám, že v tomto bodu ovládáte lineární rovnice. Na levé straně nám tedy zbyde 4x… Pak je tu 3 minus 18 minus 5. 3 minus 18 je -15, -15 minus 5 je -20. To se bude rovnat nule. Protože toto se odečte. Přičteme 20 k oběma stranám, dostaneme 4x je rovno 20. Vydělíme obě strany 4, dostaneme 'x' je rovno 5. A jsme hotovi.