Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 7

Lekce 3: Sčítání a odčítání lomených výrazů

Úvod do sčítání a odečítání lomených výrazů

Nauč se sečíst nebo odečíst dva lomené výrazy, čímž získáš jeden výsledný.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Lomený výraz je poměr dvou mnohočlenů. Například výraz

\frac{x + 2}{x + 1}

je lomeným výrazem.

Pokud ti to není povědomé, tak koukni na úvod do lomených výrazů.

Co se v tomto článku dozvíš

V této lekci se naučíš, jak sčítat a odčítat lomené výrazy.

Sčítání a odčítání lomených výrazů (se společným jmenovatelem)

Číselné zlomky

Lomené výrazy sčítáme a odčítáme stejně jako číselné zlomky.

Číselné zlomky se stejným jmenovatele sečteme nebo odečteme tak, že jednoduše sečteme, nebo odečteme jejich čitatele a výsledek napíšeme nad společného jmenovatele.

$\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Výrazy s proměnnou

Postup je stejný i pro lomené výrazy.

$\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} & Napíšeme do jednoho zlomku \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} & Odstranění závorek \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} & Sečtení odpovídajících členů \end{aligned}$ ‍

Vždycky pomůže, když čitatele dáme do závorek, obzvlášť při odčítání. Takto spíše nezapomene na znaménko minus u všech členů!

Například z:

$\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} & Spojíme zlomky do jednoho \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} & Odstraníme závorky roznásobením minusu \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} & Upravíme výraz \end{aligned}$ ‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) $\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =$ ‍

2) $\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =$ ‍

Sčítání a odčítání lomených výrazů (s různými jmenovateli)

Číselné zlomky

Abychom pochopili, jak sečíst nebo odečíst lomené výrazy s různými jmenovateli, podívejme se nejprve na to, jak to děláme s číselnými zlomky.

Například spočítejme

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

$\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) & Převedení na společného jmenovatele \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}$ ‍

Všimni si, že jsme pro vypočítání součtu potřebovali společného jmenovatele

6

Jmenovatele v prvním zlomku $(3)$ ‍ jsme museli vynásobit $2$ ‍.
Jmenovatele v druhém zlomku $(2)$ ‍ jsme museli vynásobit $3$ ‍.

Každý zlomek jsme vynásobili vlastně jen

1

, akorát zapsanou různými způsoby.

Výrazy s proměnnou

Podobný postup použijeme i na tento příklad:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}$ ‍

Chceme, aby oba jmenovatelé byli stejní, takže první musíme vynásobit

x + 5

a druhý

x - 3

. Upravíme tedy zlomky tak, abychom nezměnili jejich hodnotu a pak je můžeme sečíst.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) & Převedení na společného jmenovatele \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} & Spojení do jednoho lomeného výrazu \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Všimni si, že první krok můžeme udělat, protože zlomky

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

jsou vlastně jenom složitě zapsané

1

a násobení

1

nemění hodnotu výrazu.

V posledních dvou krocích zjednodušujeme čitatele. Závorky

(x - 3)

(x + 5)

ve jmenovateli lze roznásobit, ale většinou se schválně nechávají v součinu.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) $\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =$ ‍

Chceme, aby oba jmenovatelé byli stejní, takže první z nich musíme vynásobit

x - 2

a druhý

x + 4

. Upravíme tedy zlomky tak, abychom nezměnili jejich hodnotu a pak je můžeme sečíst.

\begin{aligned} \frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} \\ = \frac{3}{x + 4} (\frac{x - 2}{x - 2}) + \frac{2}{x - 2} (\frac{x + 4}{x + 4}) & Převedení na společného jmenovatele \\ = \frac{3 (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{3 (x - 2) + 2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} & Sjednocení do jednoho lomeného výrazu \\ = \frac{3 x - 6 + 2 x + 8}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{5 x + 2}{(x - 2) (x + 4)} \end{aligned}

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =$ ‍

Chceme, aby oba jmenovatelé byli stejní, takže první z nich musíme vynásobit

x

a druhý

x - 1

. Upravíme tedy zlomky tak, abychom nezměnili jejich hodnotu a pak je můžeme odečíst.

\begin{aligned} \frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} \\ = \frac{2}{x - 1} (\frac{x}{x}) - \frac{5}{x} (\frac{x - 1}{x - 1}) & Převedení na společného jmenovatele \\ = \frac{2 x}{x (x - 1)} - \frac{5 (x - 1)}{x (x - 1)} \\ = \frac{2 x - 5 (x - 1)}{x (x - 1)} & Sloučení do jednoho lomeného výrazu \\ = \frac{2 x - 5 x + 5}{x (x - 1)} \\ = \frac{- 3 x + 5}{x (x - 1)} \end{aligned}

Co bude dál?

Následující článek pokrývá více náročných příkladů sčítání a odčítání lomených výrazů.

Dozvíš se o nejmenším společném jmenovateli, a proč je důležité ho použít jako společný jmenovatel při sčítání nebo odčítání lomených výrazů.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.