If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů na součin: vedoucí koeficient = 1

Nauč se, jak rozkládat kvadratické výrazy na součin dvou lineárních dvojčlenů. Například x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Rozložit mnohočlen na součin znamená napsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů. Pro více informací se podívej na náš předchozí článek o vytýkání společných dělitelů.

Co se v tomto článku dozvíš

V této lekci se naučíš, jak rozložit mnohočlen ve tvaru x, squared, plus, b, x, plus, c na součin dvou dvojčlenů.

Opakování: Násobení dvojčlenů

Uvažujme výraz left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Hodnotu tohoto součinu můžeme spočítat opakovaným použitím distributivity.
Dostáváme, že left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Z toho vidíme, že x, plus, 2 a x, plus, 4 jsou děliteli mnohočlenu x, squared, plus, 6, x, plus, 8, ale jak bychom tyto dělitele našli, kdybychom je předem neznali?

Rozklad trojčlenů na součin

Výše uvedený postup násobení dvojčlenů můžeme obrátit, abychom rozložili trojčlen na součin (trojčlen je mnohočlen se 3 členy).
Jinými slovy, pokud začneme s mnohočlenem x, squared, plus, 6, x, plus, 8, můžeme ho rozložit na součin dvou dvojčlenů jako left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Pojďme se podívat na pár příkladů, abychom viděli, jak se to dělá.

Příklad 1: Rozklad x, squared, plus, 5, x, plus, 6 na součin.

Abychom rozložili x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, musíme nejdříve najít dvě čísla, jejichž součin je roven start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (absolutní člen) a jejichž součet je roven start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (koeficient u x).
Těmito dvěma čísly budou start color #11accd, 2, end color #11accd a start color #1fab54, 3, end color #1fab54, protože start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 a start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis a left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Celkem jsme zadaný trojčlen na součin rozložili následovně:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Jestliže si rozklad chceme zkontrolovat, můžeme oba dvojčleny roznásobit:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Součin x, plus, 2 a x, plus, 3 je skutečně x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Náš rozklad je správný!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož x, squared, plus, 7, x, plus, 10 na součin.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x, squared, plus, 9, x, plus, 20 na součin.

Pojďme se podívat na několik dalších příkladů a uvidíme, čemu se z nich můžeme přiučit.

Příklad 2: Rozklad x, squared, minus, 5, x, plus, 6 na součin.

Abychom rozložili x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, najdeme nejprve dvě čísla, jejichž součin je roven start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff a jejichž součet je roven start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Těmito dvěma čísly budou start color #11accd, minus, 2, end color #11accd a start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, protože left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 a left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis a left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Rozklad pak vypadá následovně:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Pravidlo při rozkládání: Povšimni si, že hledaná čísla pro rozklad x, squared, minus, 5, x, plus, 6 jsou obě záporná left parenthesis, minus, 2 a minus, 3, right parenthesis. Je to proto, že jejich součin musí být kladné číslo left parenthesis, 6, right parenthesis a jejich součet záporné číslo left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
Obecně při rozkládání mnohočlenu x, squared, plus, b, x, plus, c platí, že je-li c kladné a b záporné, pak budou obě hledaná čísla záporná!

Příklad 3: Rozklad x, squared, minus, x, minus, 6 na součin.

x, squared, minus, x, minus, 6 můžeme napsat jako x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Abychom rozložili x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, najdeme nejprve dvě čísla, jejichž součin je roven start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff a jejichž součet je roven start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Těmito dvěma čísly budou start color #11accd, 2, end color #11accd a start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, protože left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 a start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis a left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Rozklad pak vypadá následovně:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Pravidlo při rozkládání: Povšimni si, že k rozkladu x, squared, minus, x, minus, 6 potřebujeme jedno kladné číslo left parenthesis, 2, right parenthesis a jedno záporné číslo left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Je to proto, že jejich součin musí být záporný left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
Obecně při rozkládání mnohočlenu x, squared, plus, b, x, plus, c platí, že je-li c záporné, pak bude jedno z hledaných čísel kladné a druhé záporné!

Shrnutí

Obecně platí, že k rozkladu trojčlenu ve tvaru x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff musíme najít rozklad čísla start color #aa87ff, c, end color #aa87ff na součin dvou čísel takových, že jejich součet je roven start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Předpokládejme, že už máme dvě čísla m a n taková, že c, equals, m, n a b, equals, m, plus, n, potom x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Rozlož x, squared, minus, 8, x, minus, 9 na součin.

4) Rozlož x, squared, minus, 10, x, plus, 24 na součin.

5) Rozlož x, squared, plus, 7, x, minus, 30 na součin.

Proč to funguje?

Abychom pochopili, proč tato metoda rozkládání funguje, vraťme se k původnímu příkladu, ve kterém jsme rozložili x, squared, plus, 5, x, plus, 6 na součin jako left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Když zpětně vynásobíme tyto dva dvojčleny, uvidíme, jaký dopad mají čísla start color #11accd, 2, end color #11accd a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 na konečný výsledek x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Vidíme, že koeficient u x je roven součtu start color #11accd, 2, end color #11accd a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 a že absolutní člen je roven součinu start color #11accd, 2, end color #11accd a start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Součto-součinový vzorec

Nyní provedeme totéž, co jsme právě provedli s left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, ale pro left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Tento postup lze shrnout následující rovností:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Této rovnosti říkáme součto-součinový vzorec.
Součto-součinový vzorec nám objasňuje, proč můžeme po vyjádření trojčlenu x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff jako x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (vyjádření získáme tak, že najdeme dvě čísla start color #11accd, m, end color #11accd a start color #1fab54, n, end color #1fab54 taková, že start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 a start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54) rozložit tento trojčlen na součin jako left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Kontrolní otázka

6) Můžeme tuto metodu rozkládání na součin použít k rozkladu 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Kdy můžeme k rozkládání na součin použít tuto metodu?

Obecně platí, že součto-součinový vzorec lze použít pouze tehdy, když pro nějaká celá čísla m a n skutečně lze zadaný trojčlen napsat jako left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.
To znamená, že abychom tuto metodu vůbec mohli vzít v potaz, vedoucí člen našeho trojčlenu musí být x, squared (a ne například 2, x, squared), a to z toho důvodu, že součinem left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis a left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis bude vždy mnohočlen s vedoucím členem x, squared.
Avšak ne všechny trojčleny s vedoucím členem x, squared lze rozložit na součin. Kupříkladu x, squared, plus, 2, x, plus, 2 nelze rozložit na součin, protože neexistují dvě celá čísla, jejichž součet i součin by byl roven 2.
V příštích lekcích se naučíme další způsoby rozkládání více druhů mnohočlenů na součin.

Těžší příklady

7*) Rozlož x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared na součin.

8*) Rozlož x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6 na součin.