If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů na součin: vedoucí koeficient = 1

Nauč se, jak rozkládat kvadratické výrazy na součin dvou lineárních dvojčlenů. Například x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Rozložit mnohočlen na součin znamená napsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů. Pro více informací se podívej na náš předchozí článek o vytýkání společných dělitelů.

Co se v tomto článku dozvíš

V této lekci se naučíš, jak rozložit mnohočlen ve tvaru x2+bx+c na součin dvou dvojčlenů.

Opakování: Násobení dvojčlenů

Uvažujme výraz (x+2)(x+4).
Hodnotu tohoto součinu můžeme spočítat opakovaným použitím distributivity.
Dostáváme, že (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Z toho vidíme, že x+2 a x+4 jsou děliteli mnohočlenu x2+6x+8, ale jak bychom tyto dělitele našli, kdybychom je předem neznali?

Rozklad trojčlenů na součin

Výše uvedený postup násobení dvojčlenů můžeme obrátit, abychom rozložili trojčlen na součin (trojčlen je mnohočlen se 3 členy).
Jinými slovy, pokud začneme s mnohočlenem x2+6x+8, můžeme ho rozložit na součin dvou dvojčlenů jako (x+2)(x+4).
Pojďme se podívat na pár příkladů, abychom viděli, jak se to dělá.

Příklad 1: Rozklad x2+5x+6 na součin.

Abychom rozložili x2+5x+6, musíme nejdříve najít dvě čísla, jejichž součin je roven 6 (absolutní člen) a jejichž součet je roven 5 (koeficient u x).
Těmito dvěma čísly budou 2 a 3, protože 23=6 a 2+3=5.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: (x+2) a (x+3).
Celkem jsme zadaný trojčlen na součin rozložili následovně:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Jestliže si rozklad chceme zkontrolovat, můžeme oba dvojčleny roznásobit:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Součin x+2 a x+3 je skutečně x2+5x+6. Náš rozklad je správný!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož x2+7x+10 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x2+9x+20 na součin.

Pojďme se podívat na několik dalších příkladů a uvidíme, čemu se z nich můžeme přiučit.

Příklad 2: Rozklad x25x+6 na součin.

Abychom rozložili x25x+6, najdeme nejprve dvě čísla, jejichž součin je roven 6 a jejichž součet je roven 5.
Těmito dvěma čísly budou 2 a 3, protože (2)(3)=6 a (2)+(3)=5.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: (x+(2)) a (x+(3)).
Rozklad pak vypadá následovně:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Pravidlo při rozkládání: Povšimni si, že hledaná čísla pro rozklad x25x+6 jsou obě záporná (2 a 3). Je to proto, že jejich součin musí být kladné číslo (6) a jejich součet záporné číslo (5).
Obecně při rozkládání mnohočlenu x2+bx+c platí, že je-li c kladné a b záporné, pak budou obě hledaná čísla záporná!

Příklad 3: Rozklad x2x6 na součin.

x2x6 můžeme napsat jako x21x6.
Abychom rozložili x21x6, najdeme nejprve dvě čísla, jejichž součin je roven 6 a jejichž součet je roven 1.
Těmito dvěma čísly budou 2 a 3, protože (2)(3)=6 a 2+(3)=1.
Poté obě nalezená čísla přičteme k x, abychom vytvořili dva dvojčleny: (x+2) a (x+(3)).
Rozklad pak vypadá následovně:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Pravidlo při rozkládání: Povšimni si, že k rozkladu x2x6 potřebujeme jedno kladné číslo (2) a jedno záporné číslo (3). Je to proto, že jejich součin musí být záporný (6).
Obecně při rozkládání mnohočlenu x2+bx+c platí, že je-li c záporné, pak bude jedno z hledaných čísel kladné a druhé záporné!

Shrnutí

Obecně platí, že k rozkladu trojčlenu ve tvaru x2+bx+c musíme najít rozklad čísla c na součin dvou čísel takových, že jejich součet je roven b.
Předpokládejme, že už máme dvě čísla m a n taková, že c=mn a b=m+n, potom x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Rozlož x28x9 na součin.

4) Rozlož x210x+24 na součin.

5) Rozlož x2+7x30 na součin.

Proč to funguje?

Abychom pochopili, proč tato metoda rozkládání funguje, vraťme se k původnímu příkladu, ve kterém jsme rozložili x2+5x+6 na součin jako (x+2)(x+3).
Když zpětně vynásobíme tyto dva dvojčleny, uvidíme, jaký dopad mají čísla 2 a 3 na konečný výsledek x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Vidíme, že koeficient u x je roven součtu 2 a 3 a že absolutní člen je roven součinu 2 a 3.

Součto-součinový vzorec

Nyní provedeme totéž, co jsme právě provedli s (x+2)(x+3), ale pro (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Tento postup lze shrnout následující rovností:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Této rovnosti říkáme součto-součinový vzorec.
Součto-součinový vzorec nám objasňuje, proč můžeme po vyjádření trojčlenu x2+bx+c jako x2+(m+n)x+mn (vyjádření získáme tak, že najdeme dvě čísla m a n taková, že b=m+n a c=mn) rozložit tento trojčlen na součin jako (x+m)(x+n).

Kontrolní otázka

6) Můžeme tuto metodu rozkládání na součin použít k rozkladu 2x2+3x+1?
Vyber 1 odpověď:

Kdy můžeme k rozkládání na součin použít tuto metodu?

Obecně platí, že součto-součinový vzorec lze použít pouze tehdy, když pro nějaká celá čísla m a n skutečně lze zadaný trojčlen napsat jako (x+m)(x+n).
To znamená, že abychom tuto metodu vůbec mohli vzít v potaz, vedoucí člen našeho trojčlenu musí být x2 (a ne například 2x2), a to z toho důvodu, že součinem (x+m) a (x+n) bude vždy mnohočlen s vedoucím členem x2.
Avšak ne všechny trojčleny s vedoucím členem x2 lze rozložit na součin. Kupříkladu x2+2x+2 nelze rozložit na součin, protože neexistují dvě celá čísla, jejichž součet i součin by byl roven 2.
V příštích lekcích se naučíme další způsoby rozkládání více druhů mnohočlenů na součin.

Těžší příklady

7*) Rozlož x2+5xy+6y2 na součin.

8*) Rozlož x45x2+6 na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.