If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů na součin: vedoucí koeficient ≠ 1

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy na součin dvou lineárních dvojčlenů. Například 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Seskupovací metodu lze použít k rozkladu mnohočlenů se 4 členy tak, že opakovaně vytkneme společného dělitele. Pokud je tohle pro tebe nové, bylo by dobré se podívat na náš článek Úvod do rozkládání na součin seskupovací metodou.
Rovněž ti doporučujeme, aby sis předtím, než budeš pokračovat ve čtení, zopakoval, co píšeme v článku o rozkládání kvadratických mnohočlenů s vedoucím koeficientem 1.

Co se v této lekci dozvíš

V tomto článku použijeme seskupování k rozkladu kvadratických trojčlenů s vedoucím koeficientem různým od 1, například 2x2+7x+3.

Příklad 1: Rozklad 2x2+7x+3 na součin.

Protože vedoucí koeficient mnohočlenu 2x2+7x+3 je 2, k rozkladu tohoto kvadratického trojčlenu nelze použít součto-součinový vzorec.
Místo toho musíme pro rozklad 2x2+7x+3 nalézt dvě celá čísla, jejichž součin bude roven 23=6 (vedoucí koeficient krát absolutní člen) a jejichž součet bude roven 7 (koeficient u x).
Poněvadž 16=6 a 1+6=7, hledanými čísly jsou 1 a 6.
Tato dvě čísla nám říkají, jak rozdělit člen s x v původním výrazu. Náš mnohočlen tak napíšeme jako 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Teď už můžeme k rozkladu zadaného mnohočlenu na součin použít seskupování:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Seskupíme členy=x(2x+1)+3(2x+1)Vytkneme největší společné dělitele=x(2x+1)+3(2x+1)Společný dělitel!=(2x+1)(x+3)Vytkneme 2x+1
Rozklad na součin je (2x+1)(x+3).
Výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že po roznásobení obou závorek vyjde 2x2+7x+3.

Shrnutí

Obecně řečeno, k rozkladu kvadratického mnohočlenu ve tvaru ax2+bx+c můžeme použít následující postup:
  1. Začneme nalezením dvou čísel, jejichž součin je ac a jejichž součet je b.
  2. Nalezená čísla použijeme k rozdělení členu s x.
  3. Zadaný kvadratický výraz rozložíme pomocí seskupování.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož 3x2+10x+8 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož 4x2+16x+15 na součin.

Příklad 2: Rozklad 6x25x4 na součin.

Abychom rozložili 6x25x4, musíme najít dvě taková celá čísla, jejichž součin je 6(4)=24 a jejichž součet je 5.
Protože 3(8)=24 a 3+(8)=5, hledanými čísly jsou 3 a 8.
Člen 5x můžeme nyní rozdělit na součet 3x a 8x a k rozkladu zadaného mnohočlenu použijeme seskupování:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Seskupíme členy(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Vytkneme největší společné dělitele(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Zjednodušíme(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Společný dělitel!(5)=(2x+1)(3x4)Vytkneme 2x+1
Rozklad na součin je (2x+1)(3x4).
Výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že po zpětném roznásobení obou závorek vyjde 6x25x4.
Poznamenej si: Všimni si, že jsme v kroku (1) kvůli tomu, že třetí člen byl záporný, napsali znaménko "+" mezi obě seskupení, abychom zajistili, že nová rovnice bude vyjadřovat totéž, co ta původní. V kroku (2) jsme potřebovali vytknout záporného největšího společného dělitele z druhého seskupení, abychom nakonec odhalili společného dělitele 2x+1. Dej pozor na znaménka!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

3) Rozlož 2x23x9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

4) Rozlož 3x22x5 na součin.

5) Rozlož 6x213x+6 na součin.

Kdy se dá tato metoda použít?

Tato metoda se zjevně dá použít k rozkládání kvadratických mnohočlenů ve tvaru ax2+bx+c na součin, dokonce i když a1.
Avšak ne vždy lze kvadratický výraz v tomto tvaru naší metodou rozložit.
Jako příklad můžeme vzít 2x2+2x+1. Abychom jej rozložili, musíme najít dvě celá čísla, jejichž součin je 21=2 a jejichž součet je 2. Ať už bys to zkoušel sebevíc, žádná taková celá čísla nenajdeš.
Z toho důvodu naše metoda nefunguje pro 2x2+2x+1 a pro řadu dalších kvadratických výrazů.
Pokud však tato metoda nefunguje, je užitečné si zapamatovat, že zadaný výraz nelze rozložit jako (Ax+B)(Cx+D), kde A, B, C a D jsou celá čísla.

Proč tato metoda funguje?

Pojďme se podrobně zamyslet nad tím, proč tato metoda vůbec funguje. Budeme muset použít hodně písmenek, ale měj s námi, prosím, trpělivost!
Předpokládejme, že obecný kvadratický výraz ax2+bx+c lze rozložit jako (Ax+B)(Cx+D), kde A, B, C a D jsou celá čísla.
Když obě závorky roznásobíme, dostaneme kvadratický výraz (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Protože tento výraz má být roven ax2+bx+c, příslušné koeficienty v obou výrazech se sobě musí rovnat! Z toho plynou následující vztahy mezi všemi našimi neznámými písmeny:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Nyní položme m=BC a n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Z toho pak platí...
m+n=BC+AD=b
a
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Proto jsou BC a AD oněmi dvěma čísly, která při používání této metody vždy hledáme!
Po nalezení čísel m a n je dalším krokem této metody rozdělení koeficientu u x (b) podle čísel m a n a následné rozložení na součin pomocí seskupování.
Opravdu, když člen s x, který je (BC+AD)x, rozdělíme na (BC)x+(AD)x, budeme moci použít seskupování k rozkladu našeho výrazu na (Ax+B)(Cx+D).
Celkem jsme v této části...
  • začali s obecným výrazem ax2+bx+c a jeho obecným rozkladem (Ax+B)(Cx+D),
  • byli schopni nalézt čísla m a n taková, že mn=ac a m+n=b (toho jsme docílili tím, že jsme položili m=BC a n=AD),
  • rozdělili člen s x, který je bx, na mx+nx a dokázali rozložit výraz na (Ax+B)(Cx+D).
Tento postup nám ukazuje, proč nás naše metoda dovede k rozkladu na součin, pokud lze výraz rozložit jako (Ax+B)(Cx+D).
Díky, že jsi to s námi vydržel!

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.