Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Rozkládání na součin seskupováním

Nauč se rozkládat na součin pomocí metody zvané "seskupování." Seskupováním rozložíme například 2x²+8x+3x+12 na součin (2x+3)(x+4).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
Několik příkladů rozkládání na součin jsme už viděli. Pro správné pochopení tohoto článku je třeba důkladně znát vytýkání společných dělitelů pomocí distributivity. Například 6x2+4x=2x(3x+2).

Co se v tomto článku dozvíš

V tomto článku se naučíš, jak používat metodu rozkládání na součin zvanou seskupování.

Příklad 1: Rozklad 2x2+8x+3x+12 na součin.

Nejprve si povšimni, že členy v mnohočlenu 2x2+8x+3x+12 nemají žádného společného dělitele. Avšak pokud k sobě seskupíme první dva členy a poslední dva členy, každé ze seskupení bude mít svého největšího společného dělitele:
Konkrétněji máme v prvním seskupení největšího společného dělitele 2x, ve druhém seskupení je to 3. Tyto dělitele můžeme vytknout a dostaneme následující výraz:
2x(x+4)+3(x+4)
Povšimni si, že tím jsme odhalili společného dělitele obou vzniklých členů: x+4. Toho můžeme za použití distributivity vytknout.
Poněvadž zadaný mnohočlen je nyní vyjádřen jako součin dvou dvojčlenů, tak už je rozložený na součin. Svůj výsledek si můžeme zkontrolovat roznásobením a následným porovnáním s původním mnohočlenem.

Příklad 2: Rozklad 3x2+6x+4x+8 na součin.

Pojďme si shrnout to, co jsme udělali výše, na rozkladu dalšího mnohočlenu:
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Seskupíme členy=3x(x+2)+4(x+2)Vytkneme největší společné dělitele=3x(x+2)+4(x+2)Společný dělitel!=(x+2)(3x+4)Vytkneme x+2
Rozklad na součin je (x+2)(3x+4).

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož 9x2+6x+12x+8 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož 5x2+10x+2x+4 na součin.

3) Rozlož 8x2+6x+4x+3 na součin.

Příklad 3: Rozklad 3x26x4x+8 na součin.

Když používáme seskupování k rozkladu mnohočlenů se zápornými koeficienty, je třeba být obzvláště na pozoru.
Jako příklad je níže uveden rozklad mnohočlenu 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Seskupíme členy(2)=3x(x2)+(4)(x2)Vytkneme největší společné dělitele(3)=3x(x2)4(x2)Zjednodušíme(4)=3x(x2)4(x2)Společný dělitel!(5)=(x2)(3x4)Vytkneme x2
Rozklad zadaného mnohočlenu je (x2)(3x4). Dvojčleny si můžeme zpětně roznásobit a ověřit správnost našeho rozkladu.
Některé kroky výše se mohou zdát odlišné oproti tomu, co jsme dělali v prvním příkladu, takže máš možná pár otázek.
Odkud se vzalo znaménko "+" mezi oběma seskupeními?
V kroku (1) jsme mezi seskupení (3x26x) a (4x+8) přidali znaménko "+". Je to kvůli tomu, že třetí člen (4x) je záporný a znaménko členu musí být zahrnuto do seskupení.
Ponechat znaménko minus před druhým seskupením je zrádné. Běžnou chybou je například seskupit 3x26x4x+8 jako (3x26x)(4x+8). Po zjednodušení ale zjistíme, že ve skutečnosti jde o seskupení mnohočlenu 3x26x4x8, což není to samé co náš původní výraz.
Proč vytýkáme 4 místo 4?
V kroku (2) jsme vytkli 4 a tím odhalili společného dělitele (x2). Pokud bychom místo toho vytkli kladnou 4, neodhalili bychom tohoto společného dvojčlenného dělitele tak jako předtím:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Když je vedoucí člen v seskupení záporný, často musíme vytýkat záporného společného dělitele.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

4) Rozlož 2x23x4x+6 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 3x2+3x10x10 na součin.

6) Rozlož 3x2+6xx2 na součin.

Těžší příklad

7*) Rozlož 2x3+10x2+3x+15 na součin.

Kdy můžeme použít seskupovací metodu?

Seskupovací metodu lze k rozkladu mnohočlenů na součin použít, kdykoliv existuje společný dělitel obou seskupení.
Seskupování můžeme použít kupříkladu k rozkladu mnohočlenu 3x2+9x+2x+6, protože jej lze napsat následovně:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Seskupovací metodu však nemůžeme použít k rozkladu 2x2+3x+4x+12, poněvadž po vytknutí největších společných dělitelů v obou seskupeních už neobdržíme žádného společného dělitele.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Použití seskupování k rozkladu trojčlenů

Seskupování lze rovněž použít k rozkladu některých tříčlenných kvadratických výrazů (tj. trojčlenů) jako je 2x2+7x+3. Je to kvůli tomu, že výraz můžeme přepsat následovně:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Poté můžeme použít seskupování a rozložit 2x2+1x+6x+3 jako (x+3)(2x+1).
Pro více informací o rozkládání kvadratických trojčlenů pomocí seskupování se podívej na náš další článek.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.