Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Lekce 5: Vytýkání kvadratických výrazů seskupováním

Rozkládání na součin seskupováním

Nauč se rozkládat na součin pomocí metody zvané "seskupování." Seskupováním rozložíme například 2x²+8x+3x+12 na součin (2x+3)(x+4).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.

Několik příkladů rozkládání na součin jsme už viděli. Pro správné pochopení tohoto článku je třeba důkladně znát vytýkání společných dělitelů pomocí distributivity. Například

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Co se v tomto článku dozvíš

V tomto článku se naučíš, jak používat metodu rozkládání na součin zvanou seskupování.

Příklad 1: Rozklad $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍ na součin.

Nejprve si povšimni, že členy v mnohočlenu

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

nemají žádného společného dělitele. Avšak pokud k sobě seskupíme první dva členy a poslední dva členy, každé ze seskupení bude mít svého největšího společného dělitele:

Konkrétněji máme v prvním seskupení největšího společného dělitele

2 x

, ve druhém seskupení je to

3

. Tyto dělitele můžeme vytknout a dostaneme následující výraz:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

Abychom z

2 x^{2} + 8 x

vytkli

2 x

, musíme každý člen vydělit

2 x

Pro první člen to bude: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍.
Pro druhý člen to bude: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍.

Takže

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

Abychom z

3 x + 12

vytkli

3

, musíme každý člen vydělit

3

Pro první člen to bude: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍.
Pro druhý člen to bude: $\frac{12}{3} = 4$ ‍.

Takže

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Z toho vyplývá, že

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Rychlým roznásobením si můžeme ověřit, že jsme společné dělitele vytkli správně.

Povšimni si, že tím jsme odhalili společného dělitele obou vzniklých členů:

x + 4

. Toho můžeme za použití distributivity vytknout.

Poněvadž zadaný mnohočlen je nyní vyjádřen jako součin dvou dvojčlenů, tak už je rozložený na součin. Svůj výsledek si můžeme zkontrolovat roznásobením a následným porovnáním s původním mnohočlenem.

Příklad 2: Rozklad $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍ na součin.

Pojďme si shrnout to, co jsme udělali výše, na rozkladu dalšího mnohočlenu:

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Seskupíme členy \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Vytkneme největší společné dělitele \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Společný dělitel! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Vytkneme x + 2 \end{aligned}

Rozklad na součin je

(x + 2) (3 x + 4)

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍ na součin.

2) Rozlož $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍ na součin.

3) Rozlož $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍ na součin.

Příklad 3: Rozklad $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍ na součin.

Když používáme seskupování k rozkladu mnohočlenů se zápornými koeficienty, je třeba být obzvláště na pozoru.

Jako příklad je níže uveden rozklad mnohočlenu

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Seskupíme členy \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Vytkneme největší společné dělitele \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Zjednodušíme \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Společný dělitel! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Vytkneme x - 2 \end{aligned}

Rozklad zadaného mnohočlenu je

(x - 2) (3 x - 4)

. Dvojčleny si můžeme zpětně roznásobit a ověřit správnost našeho rozkladu.

Některé kroky výše se mohou zdát odlišné oproti tomu, co jsme dělali v prvním příkladu, takže máš možná pár otázek.

Odkud se vzalo znaménko "+" mezi oběma seskupeními?

V kroku

(1)

jsme mezi seskupení

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

přidali znaménko "+". Je to kvůli tomu, že třetí člen

(- 4 x)

je záporný a znaménko členu musí být zahrnuto do seskupení.

Ponechat znaménko minus před druhým seskupením je zrádné. Běžnou chybou je například seskupit

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

jako

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Po zjednodušení ale zjistíme, že ve skutečnosti jde o seskupení mnohočlenu

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, což není to samé co náš původní výraz.

Proč vytýkáme $- 4$ ‍ místo $4$ ‍?

V kroku

(2)

jsme vytkli

- 4

a tím odhalili společného dělitele

(x - 2)

. Pokud bychom místo toho vytkli kladnou

4

, neodhalili bychom tohoto společného dvojčlenného dělitele tak jako předtím:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Když je vedoucí člen v seskupení záporný, často musíme vytýkat záporného společného dělitele.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

4) Rozlož $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍ na součin.

5) Rozlož $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍ na součin.

6) Rozlož $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍ na součin.

Těžší příklad

7*) Rozlož $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍ na součin.

Kdy můžeme použít seskupovací metodu?

Seskupovací metodu lze k rozkladu mnohočlenů na součin použít, kdykoliv existuje společný dělitel obou seskupení.

Seskupování můžeme použít kupříkladu k rozkladu mnohočlenu

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, protože jej lze napsat následovně:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Seskupovací metodu však nemůžeme použít k rozkladu

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, poněvadž po vytknutí největších společných dělitelů v obou seskupeních už neobdržíme žádného společného dělitele.

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Použití seskupování k rozkladu trojčlenů

Seskupování lze rovněž použít k rozkladu některých tříčlenných kvadratických výrazů (tj. trojčlenů) jako je

2 x^{2} + 7 x + 3

. Je to kvůli tomu, že výraz můžeme přepsat následovně:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Poté můžeme použít seskupování a rozložit

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

jako

(x + 3) (2 x + 1)

Pro více informací o rozkládání kvadratických trojčlenů pomocí seskupování se podívej na náš další článek.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Co je před touto lekcí třeba vědět

Co se v tomto článku dozvíš

Příklad 1: Rozklad 2x2+8x+3x+12‍ na součin.

Příklad 2: Rozklad 3x2+6x+4x+8‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 3: Rozklad 3x2−6x−4x+8‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Těžší příklad

Kdy můžeme použít seskupovací metodu?

Použití seskupování k rozkladu trojčlenů

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Rozklad $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍ na součin.

Příklad 2: Rozklad $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍ na součin.

Příklad 3: Rozklad $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍ na součin.