Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Lekce 8: Triky pro vytýkání výrazů na součin

Rozklad kvadratických výrazů jakéhokoliv tvaru

Dej dohromady vše, co víš o rozkládání kvadratických výrazů, a rozlož na součin různé kvadratické výrazy libovolného tvaru.

Co je před touto lekcí třeba vědět

V této lekci budou použity následující metody rozkládání na součin:

Co se v tomto článku dozvíš

V tomto článku si procvičíš, kdy jakou metodu použít a jak metody zkombinovat tak, abys dokázal na součin úplně rozložit kvadratický výraz libovolného tvaru.

Úvod: Přehled metod rozkládání na součin

Metoda	Příklad	Kdy se dá použít?
Vytknutí společného dělitele	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Když mají všechny členy v mnohočlenu společného dělitele.
Součto-součinový vzorec	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Když je mnohočlen ve tvaru $x^{2} + b x + c$ ‍ a $c$ ‍ lze rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven $b$ ‍.
Seskupovací metoda	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Když je mnohočlen ve tvaru $a x^{2} + b x + c$ ‍ a $a c$ ‍ lze rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven $b$ ‍.
Mocnina dvojčlenu	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Když jsou první a poslední člen druhými mocninami a prostřední člen je roven dvojnásobku součinu odmocnin z prvního a posledního členu.
Rozdíl dvou druhých mocnin	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Když výraz vyjadřuje rozdíl dvou druhých mocnin.

Dáváme vše dohromady

Ve skutečnosti ti jen zřídka někdo řekne, jakou metodu bys měl v úloze použít. Je tudíž důležité vytvořit si jakýsi kontrolní seznam, který ti rozkládání usnadní.

Zde je jeden příklad takového kontrolního seznamu, v němž si pokládáme řadu otázek, abychom určili, jak daný kvadratický mnohočlen rozložit.

Rozkládání kvadratických výrazů

Před řešením jakékoliv úlohy na rozklad na součin je vhodné si výraz přepsat tak, že členy seřadíme podle mocnitele sestupně (tzv. standardní tvar).

Až tak učiníš, můžeš přejít k následujícímu seznamu otázek:

Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Pokud ne, přejdi na Otázku 2. Pokud ano, vytkni největšího společného dělitele a poté pokračuj Otázkou 2.

Vytknutí největšího společného dělitele je velmi důležitým krokem při rozkládání, poněvadž zmenšuje čísla, s nimiž pak musíme pracovat. To nám následně usnaďnuje vidět v příkladu různé vzorce!

Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin? (například $x^{2} - 16$ ‍ nebo $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Pokud vidíš rozdíl dvou druhých mocnin, rozlož jej pomocí vzorce

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Pokud ne, přejdi na Otázku 3.

Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který může být druhou mocninou dvojčlenu? (například $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ nebo $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Pokud vidíš nějaký takový trojčlen, rozlož jej pomocí vzorce

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Pokud ne, přejdi na Otázku 4.

Otázka 4:

a) Máme nějaký výraz ve tvaru $x^{2} + b x + c$ ‍?
Pokud ne, přejdi na Otázku 5. Pokud ano, přejdi na b).

b) Dokážeme $c$ ‍ rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven $b$ ‍?
Pokud ano, tak výraz rozlož pomocí součto-součinového vzorce. V opačném případě to znamená, že daný kvadratický výraz už dále rozložit nelze.

Otázka 5: Dokážeme $a c$ ‍ rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven $b$ ‍?
Pokud jsi se dostal až sem, daný kvadratický výraz musí být ve tvaru

a x^{2} + b x + c

, kde

a \neq 1

. Pokud

a c

dokážeš rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je

b

, tak rozkládej pomocí seskupovací metody. Pokud tomu tak není, daný kvadratický výraz už dále rozložit nelze.

Když se ho budeš držet, tak ti tento kontrolní seznam pomůže zajistit, že jsi daný kvadratický výraz rozložil úplně!

Úplně rozložit znamená, že pokračuješ v rozkládání, dokud už žádnou část výrazu nelze dále rozložit.

Uvažujme například mnohočlen

2 x^{2} - 4 x - 16

. Ten můžeme rozložit tak, že vytkneme společného dělitele

2

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

Avšak tento výraz není úplně rozložený, protože

x^{2} - 2 x - 8

lze ještě dále rozložit. Když tak učiníme, celý postup vypadá takto:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

Nyní už nelze dále rozkládat, poněvadž jsme mnohočlen vyjádřili jako součin lineárních činitelů bez (největšího) společného dělitele.

Takže i když

2 (x^{2} - 2 x - 8)

je rozkladem mnohočlenu

2 x^{2} - 4 x - 16

, jeho úplným rozkladem je

2 (x - 4) (x + 2)

Zkusme nyní pár příkladů.

Příklad 1: Rozklad $5 x^{2} - 80$ ‍ na součin

Všimni si, že výraz už je ve standardním tvaru. Můžeme proto přejít k našemu kontrolnímu seznamu.

Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem

5 x^{2}

80

5

. Vytkneme ho následovně:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ano.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Lze tedy použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin a v rozkladu pokračovat takto:

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

V celém výrazu už nemáme nic kvadratického, zadaný mnohočlen jsme tudíž úplně rozložili.

Celkem:

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ na součin

Zadaný výraz je opět ve standardním tvaru. Začněme procházet kontrolní seznam!

Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ne. Členy

4 x^{2}

12 x

9

nemají žádného společného dělitele. Další otázka.

Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. V našem výrazu je člen s

x

, takže nemůže jít o rozdíl druhých mocnin. Další otázka.

Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který by mohl být dvojčlenem umocněným na druhou?
Ano. První člen je druhá mocnina, poněvadž

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, a poslední člen je druhá mocnina, protože

9 = (3)^{2}

. Dále se prostřední člen rovná dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou, protože

12 x = 2 (2 x) (3)

K rozkladu daného kvadratického výrazu tak můžeme použít vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Celkem:

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Příklad 3: Rozklad $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ na součin.

Tento kvadratický výraz ještě není ve standardním tvaru. Přepíšeme ho jako

3 x^{2} + 12 x - 63

a pak budeme postupovat podle kontrolního seznamu.

Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem

3 x^{2}

12 x

63

3

. Vytkneme ho následovně:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. Další otázka.

Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který by mohl být druhou mocninou dvojčlenu?
Ne. Povšimni si, že

21

není druhou mocninou žádného celého čísla, takže zadaný výraz nemůže být druhou mocninou dvojčlenu. Další otázka.

Otázka 4a: Máme nějaký výraz ve tvaru $x^{2} + b x + c$ ‍?
Ano. Kvadratický výraz vzniklý po vytknutí společného dělitele,

x^{2} + 4 x - 21

, je v tomto tvaru.

Otázka 4b: Dokážeme $c$ ‍ rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je $b$ ‍?
Ano. Konkrétně dokážeme rozložit

- 21

na součin takových dvou čísel, jejichž součet je

4

Protože

7 \cdot (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, v rozkladu pokračujeme následovně:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Celkem:

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Příklad 4: Rozklad $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ na součin

Všimni si, že tento kvadratický výraz už je ve standardním tvaru.

Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem

4 x^{2}

18 x

10

2

. Vytkneme ho následovně:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. Další otázka.

Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který může být druhou mocninou dvojčlenu?
Ne. Další otázka.

Otázka 4a: Máme nějaký výraz ve tvaru $x^{2} + b x + c$ ‍?
Ne. Vedoucí koeficient v kvadratickém výrazu v závorce je

2

. Další otázka.

Otázka 5: Dokážeme $a c$ ‍ rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je $b$ ‍?
Výraz vzniklý po vytknutí společného dělitele je

2 x^{2} + 9 x - 5

, takže chceme najít rozklad čísla

2 \cdot (- 5) = - 10

na součin dvou čísel, jejichž součet je roven

9

Protože

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

, odpovědí je ano.

Prostřední člen můžeme nyní napsat jako

- 1 x + 10 x

a k rozkladu použijeme seskupování:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Rozdělíme prostřední člen \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Seskupíme členy \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Vytkneme největší společné dělitele \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Vytkneme 2 x - 1 \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

1) Úplně rozlož $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍.

2) Úplně rozlož $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍.

3) Úplně rozlož $72 x^{2} - 2$ ‍.

4) Úplně rozlož $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍.

5) Úplně rozlož $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍.

6) Úplně rozlož $56 - 18 x + x^{2}$ ‍.

7) Úplně rozlož $3 x^{2} + 27$ ‍.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 27 \\ = 3 (x^{2} + 9) & Vytkneme 3 \end{aligned}

Výraz

x^{2} + 9

již nelze dále rozložit.

Výraz si napíšeme jako

x^{2} + 0 x + 9

a přesvědčíme se, že tomu tak skutečně je. Protože neexistuje žádná dvojice čísel, jejichž součin by byl

9

a jejichž součet by byl

0

, tento výraz není dále rozložitelný.

Jinou možností je uvědomit si, že

x^{2} + 9

je součtem dvou druhých mocnin, a ne rozdílem dvou druhých mocnin. Nad reálnými čísly součet dvou druhých mocnin na součin rozložit nelze.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Co je před touto lekcí třeba vědět

Co se v tomto článku dozvíš

Úvod: Přehled metod rozkládání na součin

Dáváme vše dohromady

Rozkládání kvadratických výrazů

Příklad 1: Rozklad 5x2−80‍ na součin

Příklad 2: Rozklad 4x2+12x+9‍ na součin

Příklad 3: Rozklad 12x−63+3x2‍ na součin.

Příklad 4: Rozklad 4x2+18x−10‍ na součin

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Rozklad $5 x^{2} - 80$ ‍ na součin

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ na součin

Příklad 3: Rozklad $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ na součin.

Příklad 4: Rozklad $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ na součin