If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů jakéhokoliv tvaru

Dej dohromady vše, co víš o rozkládání kvadratických výrazů, a rozlož na součin různé kvadratické výrazy libovolného tvaru.

Co je před touto lekcí třeba vědět

V této lekci budou použity následující metody rozkládání na součin:

Co se v tomto článku dozvíš

V tomto článku si procvičíš, kdy jakou metodu použít a jak metody zkombinovat tak, abys dokázal na součin úplně rozložit kvadratický výraz libovolného tvaru.

Úvod: Přehled metod rozkládání na součin

MetodaPříkladKdy se dá použít?
Vytknutí společného dělitele= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Když mají všechny členy v mnohočlenu společného dělitele.
Součto-součinový vzorec= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Když je mnohočlen ve tvaru x, squared, plus, b, x, plus, c a c lze rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven b.
Seskupovací metoda= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Když je mnohočlen ve tvaru a, x, squared, plus, b, x, plus, c a a, c lze rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven b.
Mocnina dvojčlenu= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Když jsou první a poslední člen druhými mocninami a prostřední člen je roven dvojnásobku součinu odmocnin z prvního a posledního členu.
Rozdíl dvou druhých mocnin=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Když výraz vyjadřuje rozdíl dvou druhých mocnin.

Dáváme vše dohromady

Ve skutečnosti ti jen zřídka někdo řekne, jakou metodu bys měl v úloze použít. Je tudíž důležité vytvořit si jakýsi kontrolní seznam, který ti rozkládání usnadní.
Zde je jeden příklad takového kontrolního seznamu, v němž si pokládáme řadu otázek, abychom určili, jak daný kvadratický mnohočlen rozložit.

Rozkládání kvadratických výrazů

Před řešením jakékoliv úlohy na rozklad na součin je vhodné si výraz přepsat tak, že členy seřadíme podle mocnitele sestupně (tzv. standardní tvar).
Až tak učiníš, můžeš přejít k následujícímu seznamu otázek:
Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Pokud ne, přejdi na Otázku 2. Pokud ano, vytkni největšího společného dělitele a poté pokračuj Otázkou 2.
Vytknutí největšího společného dělitele je velmi důležitým krokem při rozkládání, poněvadž zmenšuje čísla, s nimiž pak musíme pracovat. To nám následně usnaďnuje vidět v příkladu různé vzorce!
Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin? (například x, squared, minus, 16 nebo 25, x, squared, minus, 9)?
Pokud vidíš rozdíl dvou druhých mocnin, rozlož jej pomocí vzorce a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Pokud ne, přejdi na Otázku 3.
Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který může být druhou mocninou dvojčlenu? (například x, squared, minus, 10, x, plus, 25 nebo 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Pokud vidíš nějaký takový trojčlen, rozlož jej pomocí vzorce a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Pokud ne, přejdi na Otázku 4.
Otázka 4:
a) Máme nějaký výraz ve tvaru x, squared, plus, b, x, plus, c?
Pokud ne, přejdi na Otázku 5. Pokud ano, přejdi na b).
b) Dokážeme c rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven b?
Pokud ano, tak výraz rozlož pomocí součto-součinového vzorce. V opačném případě to znamená, že daný kvadratický výraz už dále rozložit nelze.
Otázka 5: Dokážeme a, c rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je roven b?
Pokud jsi se dostal až sem, daný kvadratický výraz musí být ve tvaru a, x, squared, plus, b, x, plus, c, kde a, does not equal, 1. Pokud a, c dokážeš rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je b, tak rozkládej pomocí seskupovací metody. Pokud tomu tak není, daný kvadratický výraz už dále rozložit nelze.
Když se ho budeš držet, tak ti tento kontrolní seznam pomůže zajistit, že jsi daný kvadratický výraz rozložil úplně!
Zkusme nyní pár příkladů.

Příklad 1: Rozklad 5, x, squared, minus, 80 na součin

Všimni si, že výraz už je ve standardním tvaru. Můžeme proto přejít k našemu kontrolnímu seznamu.
Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem 5, x, squared a 80 je 5. Vytkneme ho následovně:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ano. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Lze tedy použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin a v rozkladu pokračovat takto:
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
V celém výrazu už nemáme nic kvadratického, zadaný mnohočlen jsme tudíž úplně rozložili.
Celkem: 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Příklad 2: Rozklad 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 na součin

Zadaný výraz je opět ve standardním tvaru. Začněme procházet kontrolní seznam!
Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ne. Členy 4, x, squared, 12, x a 9 nemají žádného společného dělitele. Další otázka.
Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. V našem výrazu je člen s x, takže nemůže jít o rozdíl druhých mocnin. Další otázka.
Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který by mohl být dvojčlenem umocněným na druhou?
Ano. První člen je druhá mocnina, poněvadž 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, a poslední člen je druhá mocnina, protože 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Dále se prostřední člen rovná dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou, protože 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
K rozkladu daného kvadratického výrazu tak můžeme použít vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Celkem: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Příklad 3: Rozklad 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared na součin.

Tento kvadratický výraz ještě není ve standardním tvaru. Přepíšeme ho jako 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 a pak budeme postupovat podle kontrolního seznamu.
Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem 3, x, squared, 12, x a 63 je 3. Vytkneme ho následovně:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. Další otázka.
Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který by mohl být druhou mocninou dvojčlenu?
Ne. Povšimni si, že 21 není druhou mocninou žádného celého čísla, takže zadaný výraz nemůže být druhou mocninou dvojčlenu. Další otázka.
Otázka 4a: Máme nějaký výraz ve tvaru x, squared, plus, b, x, plus, c?
Ano. Kvadratický výraz vzniklý po vytknutí společného dělitele, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, je v tomto tvaru.
Otázka 4b: Dokážeme c rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je b?
Ano. Konkrétně dokážeme rozložit minus, 21 na součin takových dvou čísel, jejichž součet je 4.
Protože 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 a 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, v rozkladu pokračujeme následovně:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Celkem: 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Příklad 4: Rozklad 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10 na součin

Všimni si, že tento kvadratický výraz už je ve standardním tvaru.
Otázka 1: Máme nějaké společné dělitele?
Ano. Největším společným dělitelem 4, x, squared, 18, x a 10 je 2. Vytkneme ho následovně:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Otázka 2: Vidíme nějaký rozdíl dvou druhých mocnin?
Ne. Další otázka.
Otázka 3: Vidíme nějaký trojčlen, který může být druhou mocninou dvojčlenu?
Ne. Další otázka.
Otázka 4a: Máme nějaký výraz ve tvaru x, squared, plus, b, x, plus, c?
Ne. Vedoucí koeficient v kvadratickém výrazu v závorce je 2. Další otázka.
Otázka 5: Dokážeme a, c rozložit na součin dvou čísel, jejichž součet je b?
Výraz vzniklý po vytknutí společného dělitele je 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, takže chceme najít rozklad čísla 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 na součin dvou čísel, jejichž součet je roven 9.
Protože left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 a left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, odpovědí je ano.
Prostřední člen můžeme nyní napsat jako minus, 1, x, plus, 10, x a k rozkladu použijeme seskupování:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Rozdeˇlıˊme prostrˇednıˊ cˇlen=2((2x21x)+(10x5))Seskupıˊme cˇleny=2(x(2x1)+5(2x1))Vytkneme nejveˇtsˇıˊ spolecˇneˊ deˇlitele=2(2x1)(x+5)Vytkneme 2x1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Rozdělíme prostřední člen}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Seskupíme členy}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Vytkneme největší společné dělitele}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Vytkneme $2x-1$}}} \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

1) Úplně rozlož 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

2) Úplně rozlož 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300.

3) Úplně rozlož 72, x, squared, minus, 2.

4) Úplně rozlož 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

5) Úplně rozlož 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8.

6) Úplně rozlož 56, minus, 18, x, plus, x, squared.

7) Úplně rozlož 3, x, squared, plus, 27.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď: