If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "čtverce". Například napiš x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
V tomto článku se naučíš, jak lze pomocí speciálních vzorečků rozložit tzv. trojčlenné čtverce. Jde o opak mocnění dvojčlenů na druhou, což bys měl raději zcela umět předtím, než budeš pokračovat ve čtení.

Úvod: Rozkládání trojčlenných čtverců

Chceme-li umocnit jakýkoliv dvojčlen, můžeme použít jeden z následujících vzorců.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Povšimni si, že v těchto vzorcích mohou být a a b libovolné algebraické výrazy. Řekněme, že chceme umocnit například left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. V takovém případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, takže dostáváme:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Správnost použitého vzorce si můžeš ověřit tak, že k umocnění left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared použiješ násobení.
Obrácení tohoto postupu je určitým typem rozkladu na součin. Pokud předchozí rovnosti napíšeme v obráceném sledu, dostaneme vzorce pro rozklad mnohočlenů ve tvaru a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared na součin.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
K rozkladu x, squared, plus, 10, x, plus, 25 můžeme použít první vzorec. V tomto případě máme start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Výrazy tohoto tvaru nazýváme trojčlenné čtverce. Jejich jméno značí, že jde o trojčlenné mnohočleny, které lze napsat jako nějaký výraz umocněný na druhou (takové výrazy se někdy označují právě slovem "čtverec").
Pojďme se podívat na pár příkladů, v nichž budeme rozkládat trojčlenné čtverce pomocí těchto vzorců.

Příklad 1: Rozklad x, squared, plus, 8, x, plus, 16 na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
To znamená, že náš mnohočlen je trojčlenným čtvercem, takže k rozkladu na součin můžeme použít následující vzorec:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
V našem případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Náš mnohočlen tak na součin rozložíme následovně:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož x, squared, plus, 6, x, plus, 9 na součin.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x, squared, minus, 6, x, plus, 9 na součin.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

3) Rozlož x, squared, plus, 14, x, plus, 49 na součin.

Příklad 2: Rozklad 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 na součin.

Vedoucí koeficient trojčlenného čtverce nemusí být nutně roven 1.
Například si všimni, že v trojčlenu 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 jsou první a poslední člen druhými mocninami: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Protože trojčlen splňuje obě výše uvedené podmínky, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 je trojčlenným čtvercem. Následující vzorec pro rozklad na součin tak můžeme opět použít.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
V našem případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared:

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25 na součin.
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25 na součin.

Těžší příklady

6*) Rozlož x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1 na součin.

7*) Rozlož 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared na součin.