Hlavní obsah
Trigonometrie
Kurz: Trigonometrie > Kapitola 3
Lekce 2: Definice sinu, kosinu a tangenty pomocí jednotkové kružniceJednotková kružnice
Zjisti, jak použít jednotkovou kružnici k definování sinus, kosinus a tangens pro všechna reálná čísla. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Snažil jsem se tu
nakreslit jednotkovou kružnici. A tím "jednotková" myslím
kružnici s poloměrem 1. Vzdálenost mezi středem, který je
v počátku kartézské soustavy souřadnic, a kterýmkoliv bodem na kružnici je 1. Jaké budou souřadnice tohoto bodu,
kde dochází k protnutí s osou x? No, "x" bude 1,
"y" bude 0. [1,0] Jaké budou souřadnice tady nahoře? Šli jsme o 1 nahoru a neposunuli
jsme se ani doprava, ani doleva. Naše "x" bude 0, naše "y" bude 1. Co tady vzadu? Naše "x" bude -1,
protože jsme se posunuli o 1 doleva. Nahoru ani dolů jsme se neposunuli,
takže "y" zůstane 0. A jak to bude tady dole? No, posunuli jsme se o 1 dolů,
ve směru x jsme se nehnuli, takže "x" je 0 a "y" v tomto případě -1. To bychom měli. Teď si nakreslím úhel. Ještě si rozdělíme úhly na dva druhy. Počáteční rameno úhlu umístím
vždy na kladné straně osy x. Můžete o ní uvažovat jako
o počátečním rameně úhlu. Jeden druh úhlu vytvoříme tak, že ho odtud
povedeme proti směru hodinových ručiček. To je kladný směr.
Jdeme proti směru hodinových ručiček. Tento postup je nejběžnější.
Já se jím budu také řídit. Druhý typ úhlu, záporný směr, půjde po směru hodinových ručiček. Nakreslíme si úhel v kladném směru. Kladný směr by mohl vypadat nějak takto.
Tady je jeho počáteční rameno. Odtud jdu proti směru hodinových ručiček,
dokud nenaměřím potřebný úhel. A tady je koncové rameno. Máme úhel v kladném směru, θ (theta). Zamysleme se nad tímto průsečíkem
koncového ramena s jednotkovou kružnicí. Řekněme, že má souřadnice [a,b]. "a" značí hodnotu "x"
a "b" vyjadřuje hodnotu "y". Účelem je pomocí jednotkové kružnice
zlepšit znalosti trigonometrických funkcí. K tomu potřebujeme, aby byl náš úhel θ
součástí pravoúhlého trojúhelníku. Toho docílíme tak,
že si tady dokreslíme výšku. A aby bylo jasné, že jde o pravý úhel,
označím si ho. θ je součástí tohoto trojúhelníku. Podívejme se, co se dá zjistit o stranách
našeho pravoúhlého trojúhelníku. Nejprve se vás chci zeptat
na délku jeho přepony. Je to poloměr jednotkové kružnice. A ten se rovná 1. Délka přepony je tedy 1. Jaká je délka této modré strany? Jinak o ní můžeme uvažovat
jako o protilehlé straně k úhlu θ. Velikost výšky je stejná jako
hodnota y-ové souřadnice průsečíku [a,b]. Tato výška se bude rovnat "b". Y-ová souřadnice je vyjádřena "b",
i výška rovná "b". Teď použijeme stejný postup ke zjištění
základny trojúhelníku. Bude se rovnat hodnotě
x-ové souřadnice průsečíku [a,b]. Tady najdeme bod x rovná se "a". Vzdálenost mezi počátkem
a tímto bodem je délka "a". To bychom měli. Čemu se bude rovnat kosinus našeho úhlu
s použitím "a" a "b"? K tomu potřebujeme
definice goniometrických funkcí. Nic víc než jejich definice zatím neznáme.
Brzy ale své znalosti rozšíříme. Pro kosinus úhlu platí, že ho vypočítáme
jako přilehlá strana lomeno přepona. Takže kolik to bude? K tomuto úhlu je přilehlá strana "a". Bude se to tedy rovnat "a" děleno... Jaká je délka přepony? No přece 1... Kosinus θ se tedy rovná jen "a"... Napíšu si to... Kosinus θ se rovná "a". Je roven x-ové souřadnici bodu,
kde se koncové rameno úhlu protíná s jednotkovou kružnicí. Zamysleme se nad sinem θ. Ten udělám... Oranžově. Čemu se bude rovnat sinus θ? Podle definice ho vypočítáme
jako protihlehlá strana lomeno přepona. Protilehlá strana má délku "b",
délka přepony je 1. Sinus θ se tedy rovná "b". Zajímavé je, že bod [a,b], kde se protíná
koncové rameno s jednotkovou kružnicí, můžeme vyjádřit jako... "a" je to samé jako kosinus θ a "b" je to samé jako sinus θ. To je zajímavé, ke zjištění nám
stačily definice goniometrických funkcí. Teď, můžeme to nějakým způsobem použít? Protože je v těchto definicích háček. Fungují v případě, že máme
úhel větší než 0° a menší než 90°. Pak bude úhel
v našem pravoúhlém trojúhelníku. Definice se hroutí,
jakmile se náš úhel rovná 0, je v záporném směru,
nebo má více než 90°. Nemůžete mít pravoúhlý trojúhelník
se dvěma 90° úhly. Přestává to fungovat...
Trochu si to vyjasníme. Tady máme pravoúhlý trojúhelník.
Tento úhel je poměrně velký. Můžu ho ještě zvětšit
a stále mít pravoúhlý trojúhelník. Dokonce ještě víc...
Ale nemůžu jít až na 90°. Tam už není zřejmé,
že jde o pravoúhlý trojúhelník. Zdá se,
že definice selhávají. Hlavně v případě,
kdy jdeme až za 90°. Podívejme se, jestli to můžeme použít
k vytvoření nových definic. Ve skutečnosti jde jen o rozšíření
těch původních. Jsou s nimi v souladu. Místo definic typu
"Když máme pravoúhlý trojúhelník, kosinus je přilehlá strana ku přeponě,
sinus je protilehlá strana ku přeponě a tangens je protilehlá strana
ku přilehlé", proč jen neřekneme, že jakýkoliv úhel
můžu vepsat do jednotkové kružnice na základě tohoto pravidla, kosinus toho úhlu je pak
roven x-ové souřadnici průsečíku jeho koncového ramena
s jednotkovou kružnicí. X-ová souřadnice bodu, kde se koncové rameno úhlu
protíná s jednotkovou kružnicí. Sinus θ se pak rovná y-ové souřadnici
průsečíku koncového ramena s jednotkovou kružnicí. V podstatě pro jakýkoliv úhel platí,
že je jeho sinus a kosinus určen bodem. Jak bychom mohli definovat tangens θ? Původní definice
goniometrických funkcí nám říká, že ho vypočítáme jako sinus ku kosinu. V tomto případě to bude y-ová souřadnice
průsečíku s jednotkovou kružnicí dělená jeho x-ovou souřadnicí. V příštích videích si ukážeme
příklady využití jednotkové kružnice k výpočtu goniometrických funkcí.