Vzorce pro sinus a kosinus na základě symetrie

Prozkoumejme do hloubky tuto jednotkovou kružnici. Začneme s libovolným úhlem Θ [théta] a v celém videu budeme brát všechny údaje v radiánech. Tak, stanovili jsme si úhel, označíme ho jako Θ. Překlopme tuto zelenou polopřímku, toto koncové rameno úhlu. Zkusíme ho teď překlopit přes osy 'x' a 'y'. Ujistěme se, že jsme osy označili. Překlopme ji podle osy 'x'. Pro překlopení v kladném směru udělejte kolmici a naměřte stejnou vzdálenost. Tím získáte nový průsečík a získáte tuto polopřímku. Tuto polopřímku, kterou se pokouším nakreslit modře. Tady máme novou polopřímku. Co je to tedy za úhel mezi novou polopřímkou a osou 'x'? Konvencí je označovat úhly proti směru hodinových ručiček jako kladné. Tady to je po směru. Nejdeme tedy o Θ nad osu 'x', ale o Θ pod osu 'x'. Podle konvence označme tento úhel jako -Θ. Pojďme překlopit původní zelené rameno podle osy 'y'. Překlopíme-li to podle osy 'y'… Půjdeme odsud až sem… Můžeme si nakreslit polopřímku. Můj nejlepší pokus, máme ji zde. Jaká by byla velikost tohoto úhlu? Zkusme zjistit jeho velikost v radiánech. Víme, že celá tato vzdálenost mezi kladnou a zápornou částí osy 'x' by byla přesně π radiánů, protože je to polovina kružnice. O tomto úhlu víme, že je to úhel Θ… Tento malý úhel je Θ. Úhel, který nás zajímá, bude celá tato vzdálenost, tedy π minus tento malý kousek. Je to tedy π minus Θ. Všimněte si, že úhel 'π minus Θ' se s úhlem 'Θ' doplňují. Dohromady dávají π radiánů, tedy 180 stupňů. Překlopme toto žluté rameno podle záporné osy 'x'. Překlopíme-li jej, dostaneme průsečík a s ním i úhel, který vypadá nějak takto. Vypadá nějak takto. Jaká bude velikost tohoto úhlu, když objedeme celou tuto vzdálenost? Jaká je velikost tohoto úhlu? Celá tato vzdálenost je π a pak se posuneme ještě o úhel Θ. Toto je opět úhel Θ. Takže ujdeme vzdálenost π plus Θ. Celý tento velký úhel, který nás zajímá, má velikost 'π plus Θ' radiánů. 'π plus Θ' Napíšeme to sem. Úhel π plus Θ. Teď, když jsme zjistili, že platí jistá pravidla symetrie, podíváme se, jak spolu souvisí hodnoty funkcí sinus a kosinus těchto úhlů. Už víme, že tato souřadnice je sin(Θ)… Ne, omlouvám se, x-ová souřadnice je cos(Θ). x-ová souřadnice je cos(Θ), y-ová souřadnice je sin(Θ). Jinými slovy, tato hodnota na ose 'x' je cos(Θ) a tato hodnota na ose 'y' je sin(Θ). Podívejme se teď zase sem. Kvůli stejné konvenci je tento bod… Takto se vlastně definují trigonometrické funkce pomocí jednotkové kružnice. …tento bod, protože máme úhel -Θ, je tedy [cos(-Θ) , sin(-Θ)]. Stejně to můžeme udělat i tady. x-ová souřadnice tohoto bodu je cos(π minus Θ). To je tento úhel, když jdeme od osy 'x'. Takže cos(π minus Θ). y-ová souřadnice je sin(π minus Θ). A takto můžeme jít až do tohoto bodu, myslím, že už víte, co bude následovat. Toto je cos(Θ plus π), nebo cos(π plus Θ). Napíšeme [cos(π plus Θ) , sin(π plus Θ)]. Jak spolu toto všechno souvisí? Tak se podívejte, tady na pravé straně má souřadnice v ose 'x' tu samou hodnotu. Je to tato hodnota zde. Takže vidíme, že cos(Θ) se rovná cos(-Θ). To je celkem zajímavé. Napišme si to. cos(Θ) se rovná… Napíšu to modře. …se rovná cos(-Θ). To je celkem zajímavý výsledek. Ale co funkce sinus? Tady je hodnota sin(Θ) vzdáleností nad osou 'x' a tady je hodnota sin(-Θ) ta samá vzdálenost pod osou 'x'. Takže jsou to opačné hodnoty. Můžeme tedy říct, že sin(-Θ) se rovná -sin(Θ). Je to pravý opak. Ve stejné vzdálenosti nad a pod osou 'x' dostaneme opačné hodnoty funkce sinus. Stejně to můžeme udělat i tady. Jak souvisí toto s tímto? Obě mají stejnou hodnotu sinus. y-ová souřadnice tohoto je stejná, jako y-ová souřadnice tohoto. Takže vidíme, že toto musí být shodné. Napíšeme si to. Dostaneme, že sin(Θ) se rovná sin(π minus Θ). Teď se podívejme, jak spolu souvisí kosinus. Je to stejné, budou to opačné hodnoty. Vzdálenost od osy 'x' je stejná, ale v opačném směru. Dostaneme tedy, že cos(Θ) se rovná -cos(π minus Θ)… Udělám to stejnou barvou. Musím si v těch barvách udělat pořádek. Vyjde nám, že cos(Θ) se rovná -cos(π minus Θ). Podívejme se ještě na ten poslední. Tady je kosinus, tedy ta x-ová souřadnice, záporná. Hodnota sinus je také záporná. Překlopili jsme se přes obě osy. Napíšeme si to. Máme sin(Θ plus π), což je to samé jako sin(π plus Θ), a to se rovná -sin(Θ). Vidíte, tady je sin(Θ), toto je sin(π plus Θ) nebo sin(Θ plus π), to je jedno. Dostaneme cos(Θ plus π). cos(Θ plus π) se bude rovnat -cos(Θ). A sami vidíte, šlo by pokračovat. Můžete zkusit porovnat toto s tímto nebo tyto dvě. Můžete objevit hodně zajímavých výsledků. Vyzkoušejte si to sami. Přemýšlejte nad tím, jak je to všechno propojené a jak to stojí na symetrii kolem os 'x' a 'y'.