Vzorce pro sinus a kosinus na základě periodicity

Řekněme, že mám nějaký úhel θ. …nějaký úhel θ zde. Kreslím to na jednotkou kružnici, podle typické konvence, že začneme polopřímkou, která je souběžná s osou 'x', a koncové rameno úhlu, tam kde protne jednotkovou kružnici, v podstatě určuje sinθ a cosθ. cosθ je tedy 'x'… Vyberu nějakou novou barvu. cosθ je x-ová souřadnice bodu, ve kterém rameno úhlu protne jednotkovou kružnici. Jinými slovy, cosθ je délka toho, co tu kreslím fialově. Je to tato délka. Tato délka je cosθ a sinθ je y-ová souřadnice. Jinými slovy, sinθ je délka této úsečky zde. Jak vysoko jste nad osou 'x', to je y-ová souřadnice, takže ta délka je sinθ. Dává to smysl, vlastně to ukazuje, proč je definice jednotkové kružnice rozšířením definice Soh Cah Toa. Vzpomeňte si, Soh Cah Toa. Napíšu to. Soh Cah Toa. Sinus je protilehlá ku přeponě. Pokud chci sinθ, kolik to bude? Chci sinθ, podle Soh Cah Toa definice to bude délka protilehlé strany… Tedy sinθ… lomeno přeponou. Přepona je zde… Je to jednotková kružnice, takže to bude 1. Ukázali jsme, že je to konzistentní. Jinými slovy, sinθ je roven protilehlé straně ku přeponě. V tomto případě je to rovno protilehlé straně… A jaká je přepona? Je to jednotková kružnice, takže to bude 1. V tomto případě je sinθ roven délce protilehlé strany. Délka protilehlé strany je rovna sinθ. Podle stejné logiky je cosθ roven přilehlé straně ku přeponě. …přilehlé straně ku přeponě. A to je… Protože přepona je rovna 1, je to délka přilehlé strany. cosθ je délka přilehlé strany. To bylo jen pro připomenutí, jen jsme si ukázali, že jednotková kružnice je rozšířením principu Soh Cah Toa. Teď udělejme něco zajímavého. Toto je úhel θ. Zamysleme se teď nad úhlem θ plus (π lomeno 2). Úhel θ plus (π lomeno 2). Pokud bych k tomuto přidal (π lomeno 2), dostanu polopřímku, která je kolmá k té první. π lomeno 2. Ve stupních by to bylo… Řeknu-li θ plus (π lomeno 2), beru to v radiánech. (π lomeno 2) radiánů je 90 °. V podstatě k tomu přičítáme 90 °. Tento úhel zde je θ plus (π lomeno 2). V tomto videu bych rád prozkoumal… Hádám, že to je ta zajímavá část. …zda dokážu najít vztah mezi sin[θ plus (π lomeno 2)] a sinθ nebo dokonce cosθ. Vyzývám vás, pozastavte si video a zkuste si to sami promyslet, než to ukážu já. Zamysleme se tedy, kolik je sin[θ plus (π lomeno 2)]. Z definice jednotkové kružnice víme, že sinus úhlu θ plus (π lomeno 2), je y-ová souřadnice. Je to tato hodnota zde. Jinými slovy, je to délka této fialové úsečky. Toto zde je sin[θ plus (π lomeno 2)]. To je toto zde. Jak to ale souvisí s tím, co máme zde? Vypadá to, jako bychom vzali trojúhelník a jen ho trochu otočili. Otočili proti směru hodinových ručiček o 90 °. Což jsme vlastně udělali. Vzali jsme koncové rameno úhlu a přidali jsme k tomu 90 ° nebo (π lomeno 2) radiánů. Pokud byste to chtěli udělat pořádně, tak je-li tento úhel θ plus (π lomeno 2) a tato část v prvním kvadrantu je (π lomeno 2), pak tato část zde musí být rovna θ. Když se nad tím zamyslíme, pokud bychom chtěli najít vztah mezi touto fialovou stranou a tímto úhlem θ, pomocí Soh Cah Toa definice, vzhledem ke žlutému úhlu θ, tak je to přilehlá strana. Zamysleme se nad tím trochu. Pokud bychom… Co má vztah k přilehlé straně a přeponě, kde v tomto případě je přepona rovna 1? Je to jednotková kružnice. Kosinus je přilehlá ku přeponě. Můžeme tedy říct, že cosθ, je roven přilehlé straně, délce přilehlé strany, o které víme, že je rovna sin[θ plus (π lomeno 2)]. Napíšu to takto. sin[θ plus (π lomeno 2)] lomeno přepona. …lomeno přepona, která je rovna 1. Nezmění to tedy její hodnotu. To je dost dobré. Jen takto jsme dokázali najít pěkný vztah mezi sinem a kosinem. cosθ je roven sin[θ plus (π lomeno 2)], nebo také můžete říct, že sin[θ plus (π lomeno 2)] je roven cosθ. Vyzývám vás k tomu, abyste se po skončení videa pokusili přijít s dalšími výsledky. Abyste se zamysleli… Čemu odpovídá sinθ? Nebo čemu by mohlo odpovídat cos[θ plus (π lomeno 2)]? Prozkoumejte si to sami.