Vzorce pro tangens na základě symetrie

V předchozím videu jsme zkoumali vztahy mezi funkcemi sinus a kosinus. V podstatě vezmeme koncové rameno úhlu a překlápíme ho podle os 'x' a 'y'. V tomto videu se chci věnovat funkci tangens těchto různých úhlů. Pro připomenutí, víme, že tanθ se rovná sinθ děleno cosθ a definiváno podle jednotkové kružnice se vlastně jedná o sklon ramena úhlu. Připomeňme si, sklon je vzrůst vzhledem k posunu. Změna ve vertikální ose vzhledem ke změně v horizontální. Začínáme-li v počátku, jaká je změna ve vertikální ose, jdeme-li z 0 na sinθ? Ta změna bude sinθ. Jaká je změna v horizontální ose? je to cosθ. Toto je tedy změna v 'y' vzhledem ke změně v 'x' pro rameno úhlu. tanθ je sinθ lomeno cosθ, nebo to můžete brát jako sklon tohoto ramena úhlu. Zamysleme se nad dalšími úhly, které budou mít ten stejný tanθ. Tato polopřímka je na stejné přímce jako tato polopřímka. Když je dáte k sobě, vytvoříte přímku. Takže tangens tohoto úhlu zde, tohoto růžového úhlu, tan(π plus θ), nebo tan(θ plus π), zcela určitě můžete psát (θ plus π) namísto (π plus θ). Toto by mělo být, na základě argumentu se sklonem přímky, toto by mělo být rovno tanθ. Podívejme se, zda-li je tomu opravdu tak. Tyto dvě věci by si měly být rovny, shodneme-li se na tom, že tangens úhlu je roven sklonu ramena úhlu. Druhá strana úhlu bude na kladné ose x, podle konvence, jež jsme ustanovili. Zamysleme se nad tan(θ plus π), vyjádřen pomocí funkcí sinus a kosinus. Napíšu to růžově. Tangens. To není růžová. tan(π plus θ), to bude rovno… Napíšu závorky, abych to měl jednoznačné. …to je sin(π plus θ), nebo (θ plus π), lomeno cos(θ plus π). V minulém videu jsme ukázali, že sin(θ plus π) je roven -sinθ. Toto je tedy rovno -sinθ. cos(θ plus π), to jsme minule ukázali, že je to rovno -cosθ. Máme záporné číslo děleno záporným, mínusy se tedy vykrátí, zůstane nám sinθ lomeno cosθ, což je opravdu tanθ, můžeme z toho mít dobrý pocit. Co ty body, nebo ramena úhlů zde? Zamysleme se nad tímto bodem. Kolik bude tan(-θ)? Víme, že tan(-θ) je to samé jako sin(-θ) lomeno cos(-θ), minule jsme také ukázali, že sin(-θ) je -sinθ. To vidíme zde, sin(-θ), to je -sinθ, to máme tedy zde, ale cos(-θ) je roven cosθ, takže tyto věci jsou stejné. Máme tedy -sinθ lomeno cosθ, což je to stejné jako -tanθ. Tady vidíme, že vezmeme-li záporný úhel, dostaneme záporný tangens. To protože díky funkci sinus čitatel mění znaménko, ale jmenovatel ne. Takže tan(-θ) je -tanθ. Co tento bod zde? Takže tady, když se díváme na (π minus θ), díváme-li se na tan(π minus θ), to je sin(π minus θ) lomeno cos(π minus θ). V minulém videu jsme ukázali, že sin(π minus θ) je roven sinθ, Vidíme tady, že mají stejné znaménko, takže to je rovno sinθ, oproti tomu cos(π minus θ), to je záporný cosθ, je to -cosθ. To tedy bude opět rovno minus sinus lomeno kosinus, tedy -tanθ, což dává smysl. Toto rameno bude mít stejný sklon jako toto rameno zde. Tento sklon můžeme brát jako -tanθ. Podíváme-li se na tyto dvě, zkombinujeme-li polopřímky do přímek, pak tyto dvě přímky mají k sobě opačný sklon. Jsou si zrcadlovým odrazem podle osy 'x'. Právě jsme tedy viděli, že vezmeme-li úhel a přídáme-li k němu π, tangens toho úhlu se nezmění, protože budete vlastně na stejné přímce. Posunete-li se o 180 °, půjdete sice opačným směrem, ale sklon polopřímky zůstane nezměněn. tanθ je tedy roven tan(θ plus π), vezmete-li však záporný úhel, dostanete záporný tangens. Pokud byste šli sem a vzali (π minus θ), pak byste také dostali záporný tangens. Snad vám to přišlo vhod. Je to velmi užitečné při řešení trigonometrických příkladů, nebo hledáte-li vztahy mezi funkcemi, když používáte nějaké identity, nebo dokazujete identity. V podstatě jsme zde dokázali některé identity, ale je užitečné přemýšlet nad symetriemi v jednotkové kružnici.