Vzorce pro tangens na základě periodicity

Úhel, jehož tangens je jedna polovina, je roven 0,46 radiánů. Tvrdíme, že tangens tohoto je… Napíšu to. Tvrdíme, že tangens 0,46 radiánů je roven jedné polovině. Jiným pohledem na tangens dostaneme sklon koncového ramena úhlu. Je to sklon této polopřímky zde. Ano, dává to smysl, ten sklon je polovina. Jaké další úhly mají tangens roven polovině? Jaké jsou možnosti? Toto je náš původní úhel, 0,46 radiánů, plus (π lomeno 2). Chceme-li to brát ve stupních, π je 180 °. (π lomeno 2) je 90 °. Takže tento… Raději to udělám barvou, kterou lépe uvidíte. Bude to vypadat nějak takto. Toto je úhel (π lomeno 2). Od pohledu vidíte, že sklon této polopřímky je o dost jiný než sklon této polopřímky zde. Vlastně vypadají, že jsou kolmé, protože mají mezi sebou úhel (π lomeno 2). Rozhodně ale nemají stejný tangens. Nemají stejný sklon. Zamysleme se nad π minus 0,46. To je v podstatě… π leží na ose x. Půjdeme takto dokola. Nebo vlastně do poloviny, kde je π radiánů. Pak odečteme 0,46. Bude to tedy vypadat nějak takto. Bude to vypadat takto, kde toto je 0,46, které jsme odečetli. Jinými slovy, vezmeme-li původní rameno úhlu a převrátíme jej podél osy y, dostaneme tento úhel zde. Okamžitě vidíme, že sklon této polopřímky je jiný, než je sklon této původní. Ve skutečnosti se zdá, že jedna je záporem druhé. To tedy můžeme také škrtnout. 0,46 plus π. To nás dostane… Přičtete-li π, dostanete se do poloviny cesty kolem jednotkové kružnice a dostanete se do bodu… Vytvoříte rameno úhlu, které je souběžné s původním ramenem úhlu. To je tedy tento úhel. π plus 0,46 je celý tento úhel zde. Podíváte-li se na toto rameno, zjistíte, že je souběžné, že bude mít stejný sklon, jako má rameno úhlu 0,46. Tedy tangens bude stejný. To je tedy správně. Když jsme v minulých videích zkoumali symetrie funkce tangens, vlastně jsme viděli totéž. To, že když vezmete úhel a přičtete k němu π, dostanete ten samý tangens. Pokud byste chtěli jít hlouběji, pusťte si video o symetriích jednotkové kružnice pro tangens. Podívejme se na další. 2π minus 0,46. 2π… Je-li toto 0 stupňů, 2π vás dostane zpět na kladnou osu x a pak odečtete 0,46. Bude to tedy tento úhel zde. Ten vypadá, že má ten samý sklon, ale záporný. Nebudou tedy mít stejný tangens. Teď tento, vezmete 0,46 a přičtete k němu 2π. Máte 0,46 a přidáte 2π, což v podstatě znamená, že půjdete kolem jednotkové kružnice a dostanete se do stejného bodu. Přidáte-li 2π k nějakému úhlu, dostanete nejen stejnou hodnotu tangens, budete mít i stejné hodnoty sinu a kosinu, protože se dostanete do stejného úhlu, když přidáváte 2π. Toto tedy bude rovněž správně.