Tau versus pí

V tomto videu bych se rád znovu podíval na to, co víme o pí a jak vlastně měříme úhly v radiánech. A zamyslel se, jestli je pí opravdu to nejvhodnější číslo, kterému bychom měli věnovat pozornost. Pojďme se tedy podívat na to, co jsem právě řekl. Víme, že pí je definováno jako… „Definováno“ zapíšu jako trojité rovná se… Pí je definováno jako poměr obvodu a průměru kružnice, což je to samé jako poměr obvodu kružnice a dvojnásobku poloměru, z čehož získáme všechny tyhle zajímavé vzorce, které znáte z hodin geometrie. A pokud máte poloměr a chcete zjistit obvod, stačí obě strany rovnice vynásobit 2r a dostanete 2 krát poloměr krát pí se rovná obvodu neboli, jak je lépe známo, obvod se rovná 2pí krát r. Tohle je jedna ze základních věcí, které se naučíte velmi brzy a využíváte ji většinou k nalezení obvodu nebo k nalezení poloměru, pokud obvod znáte. A z toho vychází způsob, jakým měříme úhly v radiánech. Jen si rychle zopakujeme… Nakreslím si kruh. No, zkusím nakreslit lepší… Tak tady je můj… No, to bude muset stačit… Tady je kladná strana osy x. A tady si nakreslím libovolný úhel. Udělám jen jednoduchý úhel, ať je to… Tak, tady máme úhel. Když měříme úhly v radiánech, úhel, který chceme měřit, je ohraničen délkou nějakého oblouku a my dokážeme změřit délku tohoto oblouku v ra… No, já si to rád představuji tak, že úhel je v radiánech a délka toho oblouku „v poloměrech“, což se sice tak neříká, ale rád si to tak představuji. Jak dlouhý v poloměrech je tento oblouk, který ohraničuje tento úhel v radiánech? Ukážu vám, co mám na mysli. Takže, toto je délka oblouku. Pokud je poloměr ,r', jaká je délka tohoto oblouku? Ze základní geometrie víme, že celý obvod je roven 2pí krát r. Tento celý obvod kružnice je, už podle naší definice, roven 2pí krát r, takže jaká je délka tohoto oblouku? Předpokládám, že tohle je čtvrtina celé kružnice, takže délka bude 2pí krát r lomeno 4. Takže tato délka je (2pí krát r) lomeno 4, což je to samé jako (pí lomeno 2) krát r nebo by se dalo říct pí lomeno dvěma poloměry… Zase, takhle se to sice neříká, ale já si to tak představuji. Nebo se dá říct, že ten oblouk ohraničuje úhel o velikosti pí lomeno 2 radiánů. Takže tu máme, že úhel théta se rovná pí lomeno 2 radiánů. Takže když měříme úhel v radiánech, tak vlastně říkáme: „oukej, tenhle úhel je ohraničen obloukem, který má délku tolika a tolika poloměrů." …musím správně skloňovat slovo „poloměr“… …byla by sranda říkat „poloměrusy“… Ale musím říkat „poloměry“, aby mi někdo neřekl: „Sale, učíš lidi špatný tvar množného čísla od slova poloměr!“ Takže délka tohoto oblouku je (pí lomeno 2) poloměrů a ohraničuje úhel o velikosti (pí lomeno 2) radiánů. Mohli bychom udělat další, jen abychom si to vyjasnili. Pokud byste šli kolem celého kruhu takhle, úplně dokola, až se dostanete zpátky ke kladné straně x, jak je dlouhý tento oblouk? Teď je délka tohoto oblouku stejná jako délka obvodu kružnice, což je 2pí krát r, což je to samé jako 2pí poloměrů takže se dá říct, že úhel ohraničený tímto obloukem, úhel, který teď jde kolem celé kružnice, je 2pí radiánů. A z tohoto vyplývá všechno, co víme o tom, jak kreslit grafy trigonometrických funkcí a jakým způsobem měřit grafy na ose x. Také se zmíním o Eulerově vzorci, který je dle mého názoru nejhezčí vzorec v celé matematice. Pojďme se na to podívat hned, jen pro připomenutí toho, jak do toho všeho spadá pí. Pokud si vezmete trigonometrické funkce, nezapomeňte, že v hodinách trigonometrie předpokládáme, že toto je jednotková kružnice. Takže u trigonometrických funkcí… Tohle je jejich definice na jednotkové kružnici. Teď si to můžeme krásně shrnout. Předpokládejme, že máme jednotkovou kružnici o poloměru 1, a trigonometrické funkce jsou definovány pro všechny úhly, které můžeme mít, pro každý úhel théta je kosinus théta, jak daleko musíme jít… Nebo lépe, x-ová souřadnice tohoto bodu na oblouku, který ohraničuje úhel théta, to je kosinus théta. A potom sinus théta je y-ová souřadnice tohoto bodu. Kosinus je x-ová hodnota, sinus je y-ová hodnota. A pokud byste chtěli nakreslit graf jedné z těchto funkcí, já udělám sinus théta, ale vy klidně zkuste kosinus théta… Takže, nakresleme graf sinu théta. Uděláme jednu periodu sinu théta. Označíme si, když je théta 0, tak sinus théta je 0. Nakreslím osy x a y, jen ať víme, tohle je osa y a tohle je osa x… Takže když úhel je 0, tak jsme v tomto bodě na jednotkové kružnici, hodnota y je 0, takže sinus théta bude tady. Nakreslím to. Tohle je úhel théta a tohle… Kreslím graf sinu úhlu théta podle osy y, řekneme, že y se rovná sinu théta na tomto grafu, který kreslím. A teď můžeme udělat, já udělám jen jednoduché body. Teď uděláme úhly, pokud bychom měřili ve stupních, tak by to bylo 90° a v radiánech pí lomeno 2 radiánů. Kolik je sinus théta? Teď je to 1, toto je jednotková kružnice, má poloměr 1, takže když jsme v pí lomeno 2, když se théta rovná pí lomeno 2, tak sinus théta se rovná 1. A to je tady. Sinus théta se rovná 1. Když půjdeme do 180° neboli do poloviny kružnice, théta se teď bude rovnat pí. Théta je… Nakreslím to oranžovou barvou. Ne, oranžovou už jsem použil… Když se théta rovná pí, hodnota y v tomto bodě je opět 0. Takže jdeme zpět do nuly, pamatujte, že mluvíme o sinu théta. A teď můžeme jít až sem dolů, což můžete chápat jako 270° nebo jako (3pí lomeno 2) radiánů. Takže tahle osa je v radiánech. Takže (3pí lomeno 2) radiánů, sinus théta je ypsilonová souřadnice v tomto bodě na jednotkové kružnici, Takže to bude -1. A nakonec, když obejdete celý kruh, ujdete 2pí radiánů a jste zpět, kde jste začali, a sinus théta neboli y-ová souřadnice je teď rovna 0. A když pospojujete tečky, pokud byste nanesli více bodů, tak uvidíte část sinusoidy, část, kterou jsme tady nanesli. Tohle je další využití pí. Asi se ptáte: „Hej Sale, kam tímhle vším míříš?“ Jen vám připomínám, k čemu se pí dá využít, protože se k tomuto vrátíme ještě s jiným číslem než s pí. Poslední věc, na kterou se chci s pí podívat, je… Můžete říct: „Hele, pí je užitečné, protože se zdá, že má nějaké magické schopnosti, a už v seznamu videí Kalkulus jsme viděli, že existuje nějaký Eulerův vzorec: e na (i krát théta) se rovná (kosinus théta) plus i krát (sinus théta). Toto je jeden z těch neuvěřitelných vzorců, ale může vypadat ještě více neuvěřitelně, když za thétu dosadíme pí, protože pak se z tohoto vzorce stane e na (i krát pí)… Kolik je kosinus pí? Kosinus pí je -1 a sinus pí je 0, takže 0 krát i, takže dostanete tento zajímavý vzorec, ale ještě můžete říct: „Oukej, pokud chci spojit všechna nejdůležitější čísla v jednu rovnici, tak přičtu 1 k oběma stranám rovnice, takže dostaneme e na (i krát pí) plus 1 se rovná 0. Toto je také nazýváno Eulerova rovnost, nejkrásnější rovnice v matematice. A opravdu je velmi zajímavá, obsahuje všechna základní čísla: e, i, pí, 1 a 0. I když mně by se ještě více líbilo, kdyby ta jednička byla tady. Protože pak by celá tahle bizarní věc e na (i krát pí) byla rovna jedné. Tak by to bylo super zajímavé. Připadá mi to trochu jako podvod, že jsme museli přičíst 1 na obě strany, jen abychom si řekli: „Ó hele, teď tu mám nulu!" Ale i tak je to pořád hodně dobré. A ohledně toho vám teď chci ukázat, proč bychom… No, nebudu se zastávat tohoto názoru, ale ukážu vám ještě jiné číslo než pí. A ještě bych rád zmínil, že tyto nápady nejsou moje vlastní, toto hnutí, hnutí za „tau“, bylo inspirováno mnoha lidmi a tito lidé byli důvodem, proč jsem chtěl udělat tohle video. Prvním je Robert Palais a jeho článek Pí je špatně, ve kterém netvrdí, že je pí špatně vyčísleno, souhlasí, že pí je poměr obvodu kružnice a jejího průměru a že se rovná přibližně 3,14159. Ale tvrdí, že věnujeme pozornost špatnému číslu. Dále je zde Michael Hartl a jeho Tau manifesto. Všechno lze nalézt na internetu. Zastávají se zde čísla, které nazvali tau. Tau definují jako… Pouze s malou změnou od definice pí… Tedy nedefinují ho jako poměr obvodu a průměru kružnice neboli poměr obvodu a dvojnásobku poloměru, ale raději si řekli: „Hele, nebylo by přirozené mít nějaké číslo definované jako poměr obvodu a poloměru kružnice?“ A jak můžete vidět, pí je pouze polovina krát tohle tady, že? Obvod lomeno 2r je to samé jako polovina krát (obvod lomeno r), takže pí je vlastně polovina tau. Anebo obráceně, tau je dvojnásobek pí neboli… Což ještě nemáte zapamatované, protože: „Počkej, celý život jsem se snažil si zapamatovat pí!“ Ale tau je 6,283185 a tak dále a tak dále a nikdy se neopakuje, stejně jako pí. Tau je dvakrát pí. Takže si říkáte: „Hej, Sale, pí tu bylo po tisíciletí. Proč bychom si měli zahrávat s tak základním číslem, obzvlášť po tom, cos dokázal, jak zajímavé je?“ No a hlavním argumentem je, a mně to připadá jako velmi dobrý argument, že vše vypadá mnohem elegantněji, když používáte tohle číslo namísto poloviny tohoto čísla. A abychom to viděli, pojďme se znova podívat na všechno, co jsme dneska udělali. Nyní se budeme více soustředit na 2pí místo pí neboli na tau místo půlky tau. Jaký je tento úhel, který jsme nakreslili fialově? Nejprve se zamyslíme nad touto rovnicí. Kolik je obvod kružnice v poloměrech? Teď tvrdíme, že obvod je roven tau krát poloměr, protože tau je to samé jako 2pí. Trošku nám to tu rovnici uklidilo, ale dá se argumentovat, že to velmi zkomplikovalo pí krát (r na 2), takže to má svá pro i proti, ale při měření v radiánech to dává mnohem větší smysl, protože se dá říct, že tohle je pí lomeno 2 radiánů nebo že (pí lomeno 2) radiánů je to samé jako (tau lomeno 4) radiánů. Jak jsem na to přišel? Vzpomeňte si, pokud obejdete celou kružnici neboli její obvod, délka tohoto oblouku je tau poloměrů a ten úhel by byl tau radiánů. Úhel ohraničený obloukem o délce tau poloměrů by byl tau radiánů. Celá jedna kružince je jedno tau radiánů, což je velmi snadno pochopitelné. Jedna perioda, jeden oběh kolem kružnice je tau radiánů. Pokud máte pouze čtvrtinu otočky, bude to tau lomeno 4 radiánů. Takže důvod, proč je tau tak snadné na pochopení, je, že si nemusíte pořád říkat: „Vyděl dvěma, vynásob dvěma." Podívejte se, kolik tau radiánů máte, tolikrát jste obešli jednu kružnici. No a pokud víte, že jste ušli jen jednu čtvrtinu kružnice, tak je to tau lomeno 4 radiánů. Pokud ujdete půlku, je to tau lomeno 2 radiánů, pokud ujdete tři čtvrtiny kružnice, bude to 3tau lomeno 4 radiánů. Pokud půjdete kolem celé kružnice, je to tau radiánů. Kdyby vám někdo řekl, chce úhel 10tau radiánů, půjdete dokola přesně 10krát. Počítání by bylo mnohem snadnější, kdybyste v hlavě při převádění na radiány pořád nemuseli násobit a dělit dvěma. Pokud počítáte s tau, je to přirozené. Jedna otočka je jedno tau radiánů. Také to usnadní tuto sinusoidu. Místo abych napsal pí lomeno 2, tak pokud se podíváte na ten graf, kde byl tento bod na jednotkové kružnici? Byl v jedné čtvrtině? V jedné polovině? Byl v jedné čtvrtině té kružnice, což je tady, ale když to napíšete v tau, je to mnohem přirozenější. Pau, teda, ne pau, pí lomeno 2 je to samé jako tau lomeno 4, pí je to samé jako tau lomeno 2, 3pí lomeno 2 jsou tři čtvrtiny tau a nakonec jedna perioda je jedno tau. A hned je na první pohled jasné, kde přesně se na té jednotkové kružnici nacházíte. Tady jste ve čtvrtině kružnice, v jedné polovině kružnice, ve třech čtvrtinách kružnice a nakonec kolem celé kružnice. Poslední věc, kterou by mohli zastánci pí říct, je: „Sale, před chvílí jsi ukázal nejkrásnější vzorec, nejkrásnější rovnost v matematice, jak do toho tau zapadá?“ No, pojďme to vyzkoušet, ať vidíme, co se stane. Pokud máme e na (i krát tau), tak nám to dá kosinus tau plus i krát sinus tau. Zase se podíváme, čemu se to rovná. Tau radiánů znamená, že jsme šli kolem celé kružnice. Takže kosinus tau… Jsme zpátky na začátku jednotkové kružnice… Takže kosinus tau se rovná 1 a sinus tau se rovná 0. Sinus tau se rovná 0, takže e na (i krát tau) se rovná 1. A už nechám na vás, abyste rozhodli, která z těchto dvou rovností vypadá lépe.