Hlavní obsah
Trigonometrie
Kurz: Trigonometrie > Kapitola 1
Lekce 3: Najdi velikost úhlu v pravoúhlém trojúhelníku pomocí goniometrických funkcíÚvod do inverzních goniometrických funkcí
Dozvíš se, co je arcsinus, arccosinus a arctangens, a jak mohou být použity k nalezení chybějícího úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
Nyní se podíváme na nový typ trigonometrického příkladu. Zajímavé je, že tyto příklady nelze řešit se sinem, kosinem ani pomocí tangens.
Problém A: Jak velký je úhel u vrcholu L v trojúhelníku pod textem?
Co víme: K úhlu u vrcholu L známe délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme zapsat:
t, g(angle u vrcholu L) = start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, space, s, t, r, a, n, a, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, space, s, t, r, a, n, a, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Ale to nám nepomůže, abychom našli velikost úhlu u vrcholu L. Uvízli jsme!
Co potřebujeme: Abychom vyřešili příklad jako je tento, potřebujeme nový matematický prostředek. Naši staří přátelé sinus, kosinus a tangens nám nepomohou k řešení. Vezmou úhly a dají nám poměr stran. My ale potřebujeme funkci, která vezme poměr stran a dá nám úhly. Potřebujeme inverzní goniometrické funkce!
Inverzní gonionometrické funkce
Už jsme se učili o inverzních operacích. Například, sčítání, odčítání nebo násobení a dělení jsou inverzní operace. Každá operace provádí opačnou věc než její inverzní operace.
Myšlenka je stejná v trigonometrii. Inverzní goniometrické funkce dělají opak “běžných" goniometrické funkcí. Například:
- Inverzní sinus left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný sinus.
- Inverzní kosinus left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný kosinus.
- Inverzní tangens left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný tangens.
Obecně platí, když znáš délky stran a neznáš úhel, můžeš k nalezení úhlu použít odpovídající inverzní goniometrickou funkci. V tabulce pod textem to je vyjádřeno matematicky.
Do goniometrických funkcí dosazujeme úhly a získáváme poměry stran | Do inverzních goniometrických funkcí dosazujeme poměry stran a získáváme úhly | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, end fraction | right arrow | t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Pozor, častá chyba!
Výraz sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis není stejný jako start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Jinými slovy minus, 1 není exponent. Místo toho je to jen označení pro inverzní funkci.
Existuje však alternativní zápis, který se vyhýbá tomuto nebezpečí! Inverzní funkce sinus může být vyjádřena taky jako \arcsin, inverzní kosinus jako \arccos a inverzní tangens jako \arctan. Tento zápis je běžný v programovacích jazycích, ale setkáváme se s ním i v matematice.
Řešení úvodního problému
V rámci základního příkladu máme zadanou délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme použít inverzní tangens, abychom našli úhel.
Nyní zkusíme další příklady.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.