If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do inverzních goniometrických funkcí

Dozvíš se, co je arcsinus, arccosinus a arctangens, a jak mohou být použity k nalezení chybějícího úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
Nyní se podíváme na nový typ trigonometrického příkladu. Zajímavé je, že tyto příklady nelze řešit se sinem, kosinem ani pomocí tangens.
Problém A: Jak velký je úhel u vrcholu L v trojúhelníku pod textem?
Co víme: K úhlu u vrcholu L známe délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme zapsat:
t, g(angle u vrcholu L) = start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, space, s, t, r, a, n, a, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, space, s, t, r, a, n, a, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Ale to nám nepomůže, abychom našli velikost úhlu u vrcholu L. Uvízli jsme!
Co potřebujeme: Abychom vyřešili příklad jako je tento, potřebujeme nový matematický prostředek. Naši staří přátelé sinus, kosinus a tangens nám nepomohou k řešení. Vezmou úhly a dají nám poměr stran. My ale potřebujeme funkci, která vezme poměr stran a dá nám úhly. Potřebujeme inverzní goniometrické funkce!

Inverzní gonionometrické funkce

Už jsme se učili o inverzních operacích. Například, sčítání, odčítání nebo násobení a dělení jsou inverzní operace. Každá operace provádí opačnou věc než její inverzní operace.
Myšlenka je stejná v trigonometrii. Inverzní goniometrické funkce dělají opak “běžných" goniometrické funkcí. Například:
  • Inverzní sinus left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný sinus.
  • Inverzní kosinus left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný kosinus.
  • Inverzní tangens left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis dělá opak než obyčejný tangens.
Obecně platí, když znáš délky stran a neznáš úhel, můžeš k nalezení úhlu použít odpovídající inverzní goniometrickou funkci. V tabulce pod textem to je vyjádřeno matematicky.
Do goniometrických funkcí dosazujeme úhly a získáváme poměry stranDo inverzních goniometrických funkcí dosazujeme poměry stran a získáváme úhly
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, e, p, o, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, end fractionright arrowt, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, o, t, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, divided by, start text, p, r, with, \v, on top, i, l, e, h, l, a, with, \', on top, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Pozor, častá chyba!

Výraz sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis není stejný jako start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Jinými slovy minus, 1 není exponent. Místo toho je to jen označení pro inverzní funkci.
Existuje však alternativní zápis, který se vyhýbá tomuto nebezpečí! Inverzní funkce sinus může být vyjádřena taky jako \arcsin, inverzní kosinus jako \arccos a inverzní tangens jako \arctan. Tento zápis je běžný v programovacích jazycích, ale setkáváme se s ním i v matematice.

Řešení úvodního problému

V rámci základního příkladu máme zadanou délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme použít inverzní tangens, abychom našli úhel.
L=tan1( protilehlaˊ  prˇilehlaˊ )Definovanyˊ.L=tan1(3565)Zadaneˊ hodnoty.L28,30Spocˇıˊtaˊno kalkulacˇkou.\begin{aligned} { \angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ protilehlá }} }{\text{}\maroonC{\text{ přilehlá} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definovaný.}}} \\\\ \angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Zadané hodnoty.}}} \\\\ \angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Spočítáno kalkulačkou.}}}\end{aligned}

Nyní zkusíme další příklady.

Příklad 1
Je zadán triangle, K, I, P, zjisti velikost úhlu angle, K, I, P.
Výsledek zaokrouhli na setiny stupňů.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Příklad 2
Je zadán triangle, D, E, F, najdi velikost úhlu angle, F, E, D.
Zaokrouhli svůj výsledek na setiny stupňů.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Příklad 3
Je zadán triangle, L, Y, N, najdi velikost úhlu angle, L, Y, N.
Zaokrouhli svůj výsledek na setiny stupňů.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Pokročilý příklad
Dopočítej zbylé údaje pro celý trojúhelník. To znamená, že dopočítáš všechny délky stran a velikosti úhlů.
Zaokrouhli svoje výsledky na setiny.
O, E, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
vertical bar, angle, Z, O, E, vertical bar, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
vertical bar, angle, O, Z, E, vertical bar, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees