Hlavní obsah

Kurz: Trigonometrie > Kapitola 1

Lekce 3: Najdi velikost úhlu v pravoúhlém trojúhelníku pomocí goniometrických funkcí

Úvod do inverzních goniometrických funkcí

Dozvíš se, co je arcsinus, arccosinus a arctangens, a jak mohou být použity k nalezení chybějícího úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.

Nyní se podíváme na nový typ trigonometrického příkladu. Zajímavé je, že tyto příklady nelze řešit se sinem, kosinem ani pomocí tangens.

Problém A: Jak velký je úhel u vrcholu

L

v trojúhelníku pod textem?

Co víme: K úhlu u vrcholu

L

známe délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme zapsat:

tg

(

∠

u vrcholu

L

) =

\frac{protilehlá strana}{přilehlá strana} = \frac{35}{65}

Ale to nám nepomůže, abychom našli velikost úhlu u vrcholu

L

. Uvízli jsme!

Co potřebujeme: Abychom vyřešili příklad jako je tento, potřebujeme nový matematický prostředek. Naši staří přátelé sinus, kosinus a tangens nám nepomohou k řešení. Vezmou úhly a dají nám poměr stran. My ale potřebujeme funkci, která vezme poměr stran a dá nám úhly. Potřebujeme inverzní goniometrické funkce!

Inverzní gonionometrické funkce

Už jsme se učili o inverzních operacích. Například, sčítání, odčítání nebo násobení a dělení jsou inverzní operace. Každá operace provádí opačnou věc než její inverzní operace.

Myšlenka je stejná v trigonometrii. Inverzní goniometrické funkce dělají opak “běžných" goniometrické funkcí. Například:

Inverzní sinus $(\sin^{- 1})$ ‍ dělá opak než obyčejný sinus.
Inverzní kosinus $(\cos^{- 1})$ ‍ dělá opak než obyčejný kosinus.
Inverzní tangens $({tg}^{- 1})$ ‍ dělá opak než obyčejný tangens.

Obecně platí, když znáš délky stran a neznáš úhel, můžeš k nalezení úhlu použít odpovídající inverzní goniometrickou funkci. V tabulce pod textem to je vyjádřeno matematicky.

Do goniometrických funkcí dosazujeme úhly a získáváme poměry stran		Do inverzních goniometrických funkcí dosazujeme poměry stran a získáváme úhly
$\sin (θ) = \frac{protilehlá}{přepona}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{protilehlá}{přepona}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{přilehlá}{přepona}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{přilehlá}{přepona}) = θ$ ‍
$tg (θ) = \frac{protilehlá}{přilehlá}$ ‍	$\to$ ‍	${tg}^{- 1} (\frac{protilehlá}{přilehlá}) = θ$ ‍

Pozor, častá chyba!

Výraz

\sin^{- 1} (x)

není stejný jako

\frac{1}{\sin (x)}

. Jinými slovy

- 1

není exponent. Místo toho je to jen označení pro inverzní funkci.

Pokud nějaké číslo umocňujeme na

- 1

, znamená to, že jej máme dát do jmenovatele zlomku. Například,

3^{- 1} = \frac{1}{3}

. Obecně, když

a

je nenulové reálné číslo, potom

a^{- 1} = \frac{1}{a}

To ale je něco úplně jiného, když se bavíme o

\sin^{- 1} (x)

. To proto, že sinus je funkce, nikoliv číslo!

Obecně platí, jakmile uvidíte

- 1

v horním indexu po názvu funkce, jedná se o inverzní funkci. Takže například, když

f

je funkce, pak

f^{- 1}

představuje inverzní funkci

f

. Výraz

f^{- 1} (x)

představuje hodnotu inverzní funkce pro vstupní

x

Existuje však alternativní zápis, který se vyhýbá tomuto nebezpečí! Inverzní funkce sinus může být vyjádřena taky jako

\arcsin

, inverzní kosinus jako

\arccos

a inverzní tangens jako

\arctan

. Tento zápis je běžný v programovacích jazycích, ale setkáváme se s ním i v matematice.

Řešení úvodního problému

V rámci základního příkladu máme zadanou délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme použít inverzní tangens, abychom našli úhel.

\begin{aligned} ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{protilehlá}{přilehlá}) Definovaný. \\ ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) Zadané hodnoty. \\ ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} Spočítáno kalkulačkou. \end{aligned}

Nyní zkusíme další příklady.

Příklad 1

Je zadán $△ K I P$ ‍, zjisti velikost úhlu $∠ K I P$ ‍.
Výsledek zaokrouhli na setiny stupňů.

^{\circ}

Příklad 2

Je zadán $△ D E F$ ‍, najdi velikost úhlu $∠ F E D$ ‍.
Zaokrouhli svůj výsledek na setiny stupňů.

^{\circ}

Příklad 3

Je zadán $△ L Y N$ ‍, najdi velikost úhlu $∠ L Y N$ ‍.
Zaokrouhli svůj výsledek na setiny stupňů.

^{\circ}

Pokročilý příklad

Dopočítej zbylé údaje pro celý trojúhelník. To znamená, že dopočítáš všechny délky stran a velikosti úhlů.
Zaokrouhli svoje výsledky na setiny.

O E =

| ∠ Z O E | =

^{\circ}

| ∠ O Z E | =

^{\circ}

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.