Dozvíš se, co je arcsinus, arccosinus a arctangens, a jak mohou být použity k nalezení chybějícího úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
Nyní se podíváme na nový typ trigonometrického příkladu. Zajímavé je, že tyto příklady nelze řešit se sinem, kosinem ani pomocí tangens.
Problém A: Jak velký je úhel LL v trojúhelníku pod textem?
Co víme: Vzhledem k L\angle L, známe délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme zapsat:
tan(L)=protihl stranaaˊpilehl stranarˇaˊ=3565\tan(L) = \dfrac{\text{protihlá strana}}{\text{přilehlá strana}} = \dfrac{35}{65}
Ale to nám nepomůže, abychom našli velikost L\angle L. Uvízli jsme!
Co potřebujeme: Abychom vyřešili příklad jako je tento, potřebujeme nový matematický prostředek. Naši staří přátelé sinus, kosinus a tangens nám nepomohou k řešení. Vezmou úhly a dají nám poměr stran. My ale potřebujeme funkci, která vezme poměr stran a dá nám úhly. Potřebujeme inverzní goniometrické funkce!

Inverzní gonionometrické funkce

Už jsme se učili o inverzních operacích. Například, sčítání, odčítání nebo násobení a dělení jsou inverzní operace. Každá operace provádí opačnou věc než její inverzní operace.
Myšlenka je stejná v trigonometrii. Inverzní goniometrické funkce dělají opak “běžných" goniometrické funkcí. Například:
  • Inverzní sinus (sin1)(\sin^{-1}) dělá opak než obyčejný sinus.
  • Inverzní cosinus (cos1)(\cos^{-1}) dělá opak než obyčejný cosinus.
  • Inverzní tangens (tan1)(\tan^{-1}) dělá opak než obyčejný tangens.
Obecně platí, když znáš trigonometrický poměr a neznáš úhel, můžeš použít odpovídající inverzní trigonometrickou funkci, aby jsi našel úhel. V tabulce pod textem to je vyjádřeno matematicky.
Do goniometrických funkcí dosazujeme úhly a získáváme poměry stranDo inverzních goniometrických funkcí dosazujeme poměry stran a získáváme úhly
sin(θ)=protilehlaˊpeponarˇ\sin (\theta)=\dfrac {\text{protilehlá}}{\text{přepona}}\rightarrowsin1(protilehlaˊpeponarˇ)=θ\sin^{-1}\left(\dfrac {\text{protilehlá}}{\text{přepona}}\right)=\theta
cos(θ)=pilehlrˇaˊpeponarˇ\cos (\theta)=\dfrac {\text{přilehlá}}{\text{přepona}}\rightarrowcos1(pilehlrˇaˊpeponarˇ)=θ\cos^{-1}\left(\dfrac {\text{přilehlá}}{\text{přepona}}\right)=\theta
tan(θ)=protilehlaˊpilehlrˇaˊ\tan (\theta)=\dfrac {\text{protilehlá}}{\text{přilehlá}}\rightarrowtan1(protilehlaˊpilehlrˇaˊ)=θ\tan^{-1}\left(\dfrac {\text{protilehlá}}{\text{přilehlá}}\right)=\theta

Pozor, častá chyba!

Výraz sin1(x)\sin^{-1}(x) není stejný jako 1sin(x)\dfrac{1}{\sin(x)}. Jinými slovy 1\small{-1} není exponent. Místo toho je to jen označení pro inverzní funkci.
Existuje však alternativní zápis, který se vyhýbá tomuto nebezpečí! Inverzní funkce sinus může být vyjádřena taky jako arcsin\arcsin, inverzní kosinus jako arccos\arccos a inverzní tangens jako arctan\arctan. Tento zápis je běžný v programovacích jazycích, ale setkáváme se s ním i v matematice.

Řešení úvodního problému

V úvodním problému známe délku protilehlé a přilehlé strany, takže můžeme použít inverzní tangens, abychom našli úhel.
L=tan1( protilehl aˊ pilehlrˇaˊ )Definovan.yˊL=tan1(3565)Zadan hodnoty.eˊL28,30Spotno kalkulakou.cˇıˊaˊcˇ\begin{aligned} { \angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ protilehlá }} }{\text{}\maroonC{\text{ přilehlá} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definovaný.}}} \\\\ \angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Zadané hodnoty.}}} \\\\ \angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Spočítáno kalkulačkou.}}}\end{aligned}

Nyní zkusíme další příklady.

Načítám