If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Goniometrické funkce speciálních trojúhelníků

Nauč se určovat sinus, kosinus a tangens speciálních trojúhelníků s úhly 45-45-90 a také 30-60-90.
Až doposud jsme ke zjištění sinus, kosinus a tangens úhlu používali kalkulačku. Jsou ale případy, kdy lze goniometrické funkce počítat bez použití kalkulačky.
Existují totiž dva speciální případy trojúhelníku, kdy poměr stran zjistíme sami. Jsou to 45-45-90 trojúhelník a 30-60-90 trojúhelník.

Speciální případy trojúhelníků

30-60-90 trojúhelníky
30-60-90 trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s 30, degrees úhlem a s 60, degrees úhlem.
45-45-90 trojúhelníky
45-45-90 trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s dvěma úhly o velikosti 45, degrees.

Goniometrické funkce úhlu 30, degrees

Nyní můžeme vypočítat goniometrické funkce z těchto speciálních trojúhelníků. Začneme s 30, degrees.
Podívej se na příklady níže, ať vidíš, jak to funguje.

Kolik je sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Tady je příklad rozebrán:
Krok 1: Nakreslíme trojúhelník včetně úhlu, který chceme.
Krok 2: Označíme strany trojúhelníku podle poměrů, které jsme se naučili předtím.
Krok 3: Použijeme definici goniometrické funkce, abychom zjistili neznámé hodnoty.
sin(30)=protilehlaˊ prˇepona=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{protilehlá }}{\text{přepona}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
Zapamatuj si, že o x platí, že je rovno 1, x, z čehož plyne, že start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Nyní použijeme tuto metodu k zjištění cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis a tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.

Kolik je cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Kolik je tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 45, degrees

Nyní to zkusíme s 45, degrees. Tady začneme nakreslením a označením stran trojúhelníku 45-45-90.

Kolik je cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Kolik je sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Kolik je tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 60degrees

Proces odvození poměru pro úhly 30, degrees, 45, degrees a 60, degrees je stejný.
I když jsme si neukázali, jak zjistit goniometrický poměr pro 60, degrees, máme všechny potřebné informace, které k tomu potřebujeme!

Kolik je cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Kolik je sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Kolik je tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Shrnutí

Spočítali jsme hodnoty goniometrických funkcí úhlů 30, degrees, 45, degrees a 60, degrees. Tabulka níže shrnuje naše výsledky.
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesissine, left parenthesis, theta, right parenthesistangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degreesstart color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degreesstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degreesstart color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54
Tyto hodnoty se často vyskytují v obtížnějších goniometrických příkladech. Proto je užitečné si je zapamatovat.
Někteří lidé se rozhodli, si hodnoty zapamatují, ale to není vůbec nutné. Jak jsme si ukázali, lze si hodnoty snadno zjistit, takže si je stačí pouze odvodit, až je v budoucnu budeš potřebovat.