Hlavní obsah

Trigonometrie

Unit 1: Lesson 7

Goniometrické funkce speciálních trojúhelníků

Goniometrické funkce speciálních trojúhelníků

Goniometrické funkce speciálních trojúhelníků

Nauč se určovat sinus, kosinus a tangens speciálních trojúhelníků s úhly 45-45-90 a také 30-60-90.

Až doposud jsme ke zjištění sinus, kosinus a tangens úhlu používali kalkulačku. Jsou ale případy, kdy lze goniometrické funkce počítat bez použití kalkulačky.

Existují totiž dva speciální případy trojúhelníku, kdy poměr stran zjistíme sami. Jsou to 45-45-90 trojúhelník a 30-60-90 trojúhelník.

Speciální případy trojúhelníků

30-60-90 trojúhelníky

30-60-90 trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s 30, degrees úhlem a s 60, degrees úhlem.

[Moc tomu nevěřím. Mohu vidět, jak se odvodí tyto poměry?]

45-45-90 trojúhelníky

45-45-90 trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s dvěma úhly o velikosti 45, degrees.

[Moc tomu nevěřím. Mohu vidět, jak se odvodí tyto poměry?]

Goniometrické funkce úhlu 30, degrees

Nyní můžeme vypočítat goniometrické funkce z těchto speciálních trojúhelníků. Začneme s 30, degrees.

Podívej se na příklady níže, ať vidíš, jak to funguje.

Kolik je sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Tady je příklad rozebrán:

Krok 1: Nakreslíme trojúhelník včetně úhlu, který chceme.

[Proč?]

Krok 2: Označíme strany trojúhelníku podle poměrů, které jsme se naučili předtím.

Krok 3: Použijeme definici goniometrické funkce, abychom zjistili neznámé hodnoty.

\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{protilehlá }}{\text{přepona}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Zapamatuj si, že o x platí, že je rovno 1, x, z čehož plyne, že start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

Nyní použijeme tuto metodu k zjištění cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis a tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.

Kolik je cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

[Zobrazit řešení.]

Kolik je tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 45, degrees

Nyní to zkusíme s 45, degrees. Tady začneme nakreslením a označením stran trojúhelníku 45-45-90.

Kolik je cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

[Ukaž nápovědu.]

Kolik je sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Kolik je tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 60degrees

Proces odvození poměru pro úhly 30, degrees, 45, degrees a 60, degrees je stejný.

I když jsme si neukázali, jak zjistit goniometrický poměr pro 60, degrees, máme všechny potřebné informace, které k tomu potřebujeme!

Kolik je cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

[Ukaž nápovědu.]

Kolik je sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Kolik je tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Shrnutí

Spočítali jsme hodnoty goniometrických funkcí úhlů 30, degrees, 45, degrees a 60, degrees. Tabulka níže shrnuje naše výsledky.

	cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis	sine, left parenthesis, theta, right parenthesis	tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degrees	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degrees	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degrees	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54

Tyto hodnoty se často vyskytují v obtížnějších goniometrických příkladech. Proto je užitečné si je zapamatovat.

Někteří lidé se rozhodli, si hodnoty zapamatují, ale to není vůbec nutné. Jak jsme si ukázali, lze si hodnoty snadno zjistit, takže si je stačí pouze odvodit, až je v budoucnu budeš potřebovat.

Setřídit podle:

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Trigonometrie

Unit 1: Lesson 7

Speciální případy trojúhelníků

Goniometrické funkce úhlu 30∘30^\circ30∘30, degrees

Kolik je sin⁡(30∘)\sin(30^\circ)sin(30∘)sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Kolik je cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)cos(30∘)cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Kolik je tan⁡(30∘)\tan(30^\circ)tan(30∘)tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 45∘45^\circ45∘45, degrees

Kolik je cos⁡(45∘)\cos (45^\circ)cos(45∘)cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Kolik je sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)sin(45∘)sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Kolik je tan⁡(45∘)\tan (45^\circ)tan(45∘)tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Goniometrické funkce úhlu 60∘^\circ∘degrees

Kolik je cos⁡(60∘)\cos(60^\circ)cos(60∘)cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Kolik je sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘)sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Kolik je tan⁡(60∘)\tan(60^\circ)tan(60∘)tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?