Hlavní obsah
Kurz: Trigonometrie > Kapitola 1
Lekce 5: Goniometrické funkce a podobnostiTrigonometrické výzvy: ověření identity
Na základě zadaného diagramu s více pravoúhlými trojúhelníky ověř identitu vztahující se ke goniometrickým funkcím v těchto trojúhelnících. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Schéma níže obsahuje
rovnoběžník ABCD, to je rovnoběžník ABCD,
a trojúhelník EFG. Je zde napsáno,
které úhly mají 90°, to je označené také zde. Také je zde napsáno,
které úhly mají 31°, a to je zde také označené. Která z nabízených
rovnic je správně? Doporučuji vám si
video teď pozastavit a zkusit si na to
přijít sami. Nejdříve se podíváme
na první rovnici, která mluví
o tangentě úhlu ADC. Napíšeme si:
tangens úhlu ADC. Úhel ADC je tady, ADC. Připomeneme si
definici funkce tangens. Sinus je protilehlá
ku přeponě, kosinus je přilehlá
ku přeponě, tangens je protilehlá
ku přilehlé. Která odvěsna je protilehlá
k tomuto úhlu? Zajímá nás tento úhel,
trojúhelník ADC. Zvýrazním ho,
abyste viděli, že nás zajímá
právě tento trojúhelník. To je jediný trojúhelník,
jehož částí je úhel ADC. Takže která odvěsna
je protilehlá úhlu ADC? Je to strana CA,
nebo bych měl říci AC. Ta je tedy protilehlá. A která strana je přilehlá? Je to strana CD. CD, nebo bych ji mohl
nazvat DC, to je jedno. DC nebo CD je přilehlá. Jak jsem přišel na to,
že přilehlá je tato strana, a ne DA? Protože DA je přepona. Obě strany jsou přilehlé
k tomuto úhlu. Ale přilehlá odvěsna
je jen ta strana, která není přepona. AD nebo DA v tomto případě
představuje přeponu. Tady jsou odvěsny
protilehlá a přilehlá a toto je přepona. Tangens tohoto úhlu
je protilehlá ku přilehlé, AC lomeno DC. Je to stejné jako tady? Ne, tady je AC lomeno EF. Ale kde je EF? Strana EF vůbec není
v tomto trojúhelníku, ani v tomto obrazci. EF je tato úsečka. EF je tady. To je EF. Je to úplně jiný
trojúhelník v úplně jiném
obrazci. Nevíme, v jakém
měřítku to je. Nejde říci, že tangens
tohoto úhlu můžeme vztahovat
k délce této strany. Nejsou nijak popsané. Mohlo by to být třeba
milion kilometrů. Může zde být
jakékoliv číslo. Takže toto není pravda. Musí se to týkat něčeho
uvnitř tohoto trojúhelníku, nebo něčeho
se stejnou délkou. Pokud by šlo dokázat,
že strana EF má stejnou délku jako DC,
pak by to byla pravda. Ale není to možné. Toto je zcela jiný obrazec. Jsou to podobné
trojúhelníky, ale nevíme nic
o jejich rozměrech. Podobný trojúhelník znamená,
že tyto úhly jsou stejné, nebo že poměr odpovídajících
stran je stejný, ale nevíme z toho,
jaké číslo je zde, nepoznáme, jestli tato strana
je shodná se stranou DC. Takže toto není pravda. Teď se podíváme na
sinus úhlu CBA. Takže sinus...
vyznačím to jinou barvou. Sinus úhlu CBA. To je tento úhel, CBA. Sinus je protilehlá odvěsna ku přeponě. Protilehlá odvěsna,
když se koukneme... ...asi vyznačím, který
trojúhelník nás zajímá, třeba žlutě. Teď nás zajímá
tento trojúhelník. Protilehlá odvěsna je AC. jejím směrem
se úhel rozevírá. Takže to se rovná AC. A která strana je přepona? Která strana je přepona? Takže přepona... ...sinus je to protilehlá ku přeponě
a přepona je tady BC. Přepona je BC. Strana, která je protilehlá
pravému úhlu. Je to tedy BC. Sinus je protilehlá
ku přeponě, takže lomeno BC. Je to napsáno
také zde? Ne, zde je DC lomeno BC. Kde je DC? DC je tady. DC není... v tomto
schématu není důkaz, že by DC bylo
shodné s AC. S údaji, které zde máme, toto nemůžeme tvrdit. Takže žádná z možností
není pravdivá. Ověříme si,
jestli máme pravdu. Vrátíme se zpět
ke cvičení na webu, a zvolíme... jejda,
to není to skutečné cvičení. Musím to zavřít. Zaškrtnu "žádná z možností"
(v angličtině "neither"). A máme to správně.