Sinus a kosinus doplňkových úhlů

V trojúhelníku jsou tři úhly, to víme nebo lehce spočítáme. Na obrázku máme pravoúhlý trojúhelník a v něm máme jeden úhel roven 90 stupňům. Máme tedy jen dva úhly, se kterými můžeme pracovat. V tomto videu chci prozkoumat vztah mezi sinem jednoho z těchto dvou úhlů a kosinem druhého z těchto úhlů. A naopak kosinem jednoho úhlu se sinem druhého. Tento úhel si označme "A" a jeho velikost bude theta. Pokud je tento úhel roven theta, jakou velikost má potom úhel B? To už jsme řešili dříve, součet všech úhlů v trojúhelníku musí být roven 180. Ale víme, že úhel u vrcholu C je pravý, takže ten vypotřebuje 90 stupňů. 90 nám ještě zbývá. Tyto dva úhly musí proto mít součet 90 stupňů. Úhel A a úhel B jsou navzájem doplňkové. Neboli úhel B můžeme též označit jako 90 stupňů minus theta. Pokud sečtete theta a 90 stupňů minus theta dostanete 90 stupňů. Proč nás to tolik zajímá? Zopakujme si, čemu je roven sinus theta. Sinus je obecně protilehlá ku přeponě. Protilehlou stranou je strana BC. Tedy v čitateli bude délka strany BC lomeno délka přepony. Přepona je strana AB. Tedy délka BC lomeno délka AB. Jaký je tento poměr, pokud to bereme z pohledu úhlu B? Pro tento úhel je BC přilehlou stranou a AB, stejně jako u předchozího, přeponou. Která funkce je definovaná jako přilehlá ku přeponě? Kosinus. Pamatujete, soh-cah-toa. Sinus je protilehlá ku přeponě, což už jsme psali tady. Kosinus je přilehlá ku přeponě. A tangens je protilehlá ku přilehlé. Tedy z pohledu tohoto úhlu, pokud vezmeme strany BC a AB, tedy přilehlou stranu a přeponu, bude se to rovnat kosinu (90 minus theta). Tento zlomek se zároveň rovná kosinu (90 stupňů minus theta) Tohle je celkem zajímavý vztah. Sinus úhlu je roven kosinu doplňkového úhlu. Takže můžeme vzít libovolný úhel a napsat tento vztah. Například sinus 60 stupňů je roven kosinu čeho? Zastavte si na chvilku video a zkuste to promyslet. Bude to kosinus (90 minus 60), tedy kosinus 30 stupňů. Kontrola 30 plus 60 je 90. Můžeme to vzít i z druhého konce. Vezměme si teď kosinus theta a to se bude rovnat straně přilehlé k thetě, k úhlu při vrcholu A. Tou je strana AC Bude to tedy AC lomeno přeponou AB Jaký je teď poměr z pohledu úhlu při vrcholu B? Sinus úhlu B bude roven opačné straně AC lomeno přepona AB. Takže tomu, co tu máme napsáno. Je to také sinus úhlu při vrcholu B. Tohle je tedy rovno sinus (90 stupňů minus theta). Vidíme, že pokud vezmu kosinus úhlu je roven sinu doplňkového úhlu a naopak.