Trigonometrické výzvy: Hodnoty goniometrických funkcí

Seřaďte výrazy podle jejich velikosti. Vložte do daného políčka jakékoliv množství karet nebo ho nechte prázdné. Máme zde tento nákres a pak tu máme tyto karty s různými výrazy. Ty máme roztřídit do různých přihrádek. Chceme zjistit, čemu se rovná délka úsečky AC lomeno délka úsečky BC. Kterému z těchto výrazů se to rovná? Pak to přesuneme do správné přihrádky. Abychom to vyřešili, překreslil jsem si tento příklad do mého... ...je to něco jako poznámkový blok nebo tabule, říkejte tomu jak chcete. Tady mám stejný nákres, jen je trochu zvětšený. Tady jsou ty výrazy, které máme přesunout do přihrádek podle toho, které se rovnají. Podívejme se na první výraz. Délka úsečky AC lomeno délka úsečky BC. Koukneme se, co je vlastně AC. Délka úsečky AC. AC máme zde. Tato úsečka označená růžově lomeno úsečka BC, to je tato úsečka. Je to tedy poměr délek dvou stran v pravoúhlém trojúhelníku. Je to zjevně pravoúhlý trojúhelník, trojúhelník ABC. Vybarvím ho, abyste viděli, o jakém trojúhelníku se bavíme. Trojúhelník ABC je tento trojúhelník, na ten se zaměříme. Jistě vám dochází fakt, že poměr těchto dvou stran pravoúhlého trojúhelníka odpovídá sinu některého z jeho úhlů. U jednoho z těchto úhlů známe jeho hodnotu. Víme hodnotu velikosti tohoto úhlu. Možná si říkáte, že hodnota zde není napsaná. Ale všimněte si, že tady i tady je jeden oblouček. Tam, kde máme jeden oblouček, tam je 30 stupňů. Takže tady je také 30 stupňů. Tady jsou dva obloučky, v tom případě má úhel 41 stupňů. Tady jsou dva obloučky, takže to je shodný úhel. Má také 41 stupňů. Tady jsou tři obloučky. Nepíše se tu, kolik je to stupňů, ale tento úhel se třemi obloučky je shodný s tímto úhlem se třemi obloučky. Takže tento žlutý trojúhelník, trojúhelník ABC, má známou velikost 30 stupňů u tohoto úhlu. A nás zajímají délky těchto dvou stran. V jakém vztahu jsou tyto dvě strany k úhlu 30°? Strana AC je k němu přilehlá. Je to jedna ze stran tohoto úhlu, která není přepona. Zapíši si to sem. Toto je přilehlá odvěsna. A co je BC? BC je přepona tohoto pravoúhlého trojúhelníku. Je to strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Toto je tedy přepona. Která goniometrická funkce tohoto úhlu 30 stupňů se rovná přilehlé odvěsně lomeno přeponě? Zopakujeme si goniometrické funkce. Sinus, kosinus, tangens. Sinus je protilehlá ku přeponě. Kosinus je přilehlá ku přeponě. Takže chceme kosinus... ...zapíšeme to. Kosinus 30 stupňů se rovná délce přilehlé odvěsny, to je AC lomeno délka přepony, to je BC. Takže toto zde je to samé jako kosinus 30 stupňů. Tak to tam přetáhnu. Toto se rovná kosinu 30 stupňů. Koukneme se na další. Kosinus úhlu DEC. Kde je DEC? Takže DEC. D, E, C. Je to tento úhel. Označím ho čtyřmi obloučky, aby se to nepletlo. To je tedy úhel DEC. Jak vyjádříme kosinus úhlu DEC? Znovu, kosinus je přilehlá ku přeponě. Takže kosinus úhlu DEC, je přilehlá strana k úhlu... ...to bude tato strana. Možná si teď říkáte: není přilehlá tato strana? Tato strana, DE, je přepona. Nemůže to být přilehlá odvěsna. Takže přilehlá odvěsna je strana EC. Délka úsečky EC. A přepona je toto. Délka přepony... ...přepona je strana DE, nebo ED, je jedno, jak to nazveme. Takže délka přepony, kterou můžeme napsat jako DE. Čemu se toto také rovná? Tato možnost tu není. EC lomeno DE mezi možnostmi ale není. Ale máme tady jeden z těchto úhlů. Známe jeho velikost, ta je 41 stupňů. A poměr mezi délkou této zelené strany a oranžovou stranou... ...jakou goniometrickou funkcí bychom to mohli vyjádřit? Vzhledem k tomuto úhlu je zelená strana protilehlá odvěsna a oranžová strana je stále přepona. Takže vzhledem k úhlu 41 stupňů... ...zapíšu to. Vzhledem k úhlu 41 stupňů je to poměr protilehlá odvěsna lomeno přepona. Je to kosinus tohoto úhlu, a zároveň sinus tohoto úhlu. Sinus je protilehlá ku přeponě. Toto se tedy rovná sinu tohoto úhlu. Rovná se sinu 41 stupňů. Takže to patří sem. Sinus 41 stupňů. Tak to můžeme přetáhnout do správné příhrádky. Sinus 41 stupňů má stejnou hodnotu jako kosinus úhlu DEC. Už zbývají jen dva. Teď máme zjistit, čemu se rovná sinus úhlu CDA. Koukneme se, kde je úhel CDA. CDA je celý tento úhel. Udělám tady pár obloučků, aby bylo vidět, že to je jiný úhel, než ty ostatní. Je to tedy tento úhel. Teď nás zajímá tento velký trojúhelník. Zvýrazním ho růžovou barvou. Teď se zabýváme tímto velkým pravoúhlým trojúhelníkem. Zajímá nás sinus celého tohoto úhlu. Vzpomeňte si, že sinus je protilehlá ku přeponě. Protilehlá odvěsna je strana CA. Takže toto se rovná délce strany CA lomeno přepona, což je AD. Vydělím to délkou úsečky AD. Takže to bude lomeno AD. Znovu to tu nevidíme jako jednu z možností. Ale možná můžeme tento poměr vyjádřit... ...možná je tento poměr goniometrická funkce nějakého jiného úhlu. A jeden z těchto úhlů známe. Známe velikost tohoto úhlu. Můžeme ho nazvat DAC. Toto je 30°. Takže jaké dvě strany tu máme vzhledem k tomuto úhlu? U tohoto úhlu je to poměr přilehlé odvěsny ku přeponě. Je to přilehlá odvěsna lomeno přepona. Co je definováno jako přilehlá ku přeponě? Je to kosinus. Takže se to rovná kosinu tohoto úhlu. Toto se rovná kosinu 30 stupňů. Sinus CDA se rovná kosinu tohoto úhlu. Takže toto se rovná tomuto. Můžu to tam přetáhnout. Můžeme vidět že už tam něco máme. Už nám zbývá poslední. Cílová rovinka, nadšení se stupňuje. AE lomeno EB. AE zvýrazním touto barvou. Délka úsečky AE je tato vzdálenost. Udělám to ještě výraznější, vezmu si tuto červenou. Tato barva označuje délku úsečky AE, lomeno délkou úsečky EB. Tady máme EB. Teď se tedy soustředíme na tento pravoúhlý trojúhelník. Známe velikost tohoto úhlu. Tady máme dvojitý oblouček, a ten značí velikost úhlu 41 stupňů. Tady máme také dvojitý oblouček, takže to bude také 41 stupňů. Jakou tedy použijeme funkci vzhledem k tomuto úhlu? Je to protilehlá ku přeponě. Bude to sinus tohoto úhlu, sinus 41 stupňů. Takže se to rovná této první možnosti. Můžeme to do ní přetáhnout. Toto se tedy rovná sinu 41 stupňů. Nakonec se tedy žádný z výrazů nerovná hodnotě tangens 41 stupňů. Podíváme se, jestli to máme dobře. Doufám, že ano. Je to tak.