Sinus a kosinus doplňkových úhlů

Chceme dokázat, že sinus úhlu se rovná kosinu jeho doplňkového úhlu.

Začněme pravým trojúhelníkem. Všimni si, jak se vzájemně doplňují ostré úhly, a to až do 90$^\circ$degrees.

Teď je tu tak super část. Podívej se na sinus jednoho ostrého úhlu.

Popisuje $\blueD{\text{přesně stejný poměr}}$start color #11accd, start text, p, r, with, \v, on top, e, s, n, e, with, \v, on top, space, s, t, e, j, n, y, with, \', on top, space, p, o, m, e, with, \v, on top, r, end text, end color #11accd jako kosinus jiného ostrého úhlu?

Neuvěřitelné! Obě funkce, $\sin(\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis i $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis, nám dávají přesně stejný poměr stran v pravoúhlém trojúhelníku.

A tím jsem skončili! Ukázali jsme si, že $\sin(\theta) = \cos(90^\circ-\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Jinými slovy, že sinus úhlu se rovná kosinu jeho doplňkového úhlu.

Dobrá, z technického hlediska jsme si to ukázali jen pro úhly mezi 0$^\circ$degrees and 90$^\circ$degrees. Aby náš důkaz fungoval pro všechny úhly, museli bychom se přesunout přes trigonometrii pravoúhlého trojúhelníku do světa trigonometrie jednotkové kružnice, ale to počká na vhodnější čas.

Možná jste zaznamenali, že slova sinus a cosinus znějí podobně. To proto, že jsou to kofunkce! Kofunkce fungují přesně tak, jak jste to viděli výše. Obecně platí, že pokud $f$f a $g$g jsou kofunkce, pak

a

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Zde je úplný seznam základních trigonometrických kofunkcí:

Super! Kdokoliv takto pojmenovával trigonometrické funkce, měl hluboké pochopení pro vztahy mezi nimi.