Hlavní obsah

Kurz: Trigonometrie > Kapitola 1

Lekce 9: Převrácené goniometrické funkce

Sinus a kosinus doplňkových úhlů

Dozvíš se o vztahu mezi sinusovým a kosinovým doplňkovým úhlem, což jsou úhly, které při součtu dohromady dají 90°.

Chceme dokázat, že sinus úhlu se rovná kosinu jeho doplňkového úhlu.

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Začněme pravým trojúhelníkem. Všimni si, jak se vzájemně doplňují ostré úhly, a to až do 90

^{\circ}

Úhly v trojúhelníku dávají dohromady až 180

^{\circ}

. Pokud má jeden úhel pravoúhlého trojúhelníku 90

^{\circ}

, pak zbývající dva úhly musí po sečtení dát až 180

^{\circ}

mínus 90

^{\circ}

, nebo 90

^{\circ}

Takže, pokud pojmenujeme jeden z úhlů

θ

, pak druhý musí být 90

^{\circ}

bez

θ

. Tím zajistíme, že součet dvou úhlů bude 90

^{\circ}

Když je součet dvou úhlů 90

^{\circ}

, říkáme jim doplňkové úhly.

Teď je tu tak super část. Podívej se na sinus jednoho ostrého úhlu.

Popisuje

přesně stejný poměr

jako kosinus jiného ostrého úhlu?

Neuvěřitelné! Obě funkce,

\sin (θ)

\cos (90^{\circ} - θ)

, nám dávají přesně stejný poměr stran v pravoúhlém trojúhelníku.

A tím jsem skončili! Ukázali jsme si, že

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Jinými slovy, že sinus úhlu se rovná kosinu jeho doplňkového úhlu.

Dobrá, z technického hlediska jsme si to ukázali jen pro úhly mezi 0

^{\circ}

and 90

^{\circ}

. Aby náš důkaz fungoval pro všechny úhly, museli bychom se přesunout přes trigonometrii pravoúhlého trojúhelníku do světa trigonometrie jednotkové kružnice, ale to počká na vhodnější čas.

Kofunkce

Možná jste zaznamenali, že slova sinus a cosinus znějí podobně. To proto, že jsou to kofunkce! Kofunkce fungují přesně tak, jak jste to viděli výše. Obecně platí, že pokud

f

g

jsou kofunkce, pak

f (θ) = g (90^{\circ} - θ)

g (θ) = f (90^{\circ} - θ)

Zde je úplný seznam základních trigonometrických kofunkcí:

Kofunkce
Sinus a kosinus	$\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cos (θ) = \sin (90^{\circ} - θ)$ ‍
Tangens a kotangens	$\tan (θ) = \cot (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cot (θ) = \tan (90^{\circ} - θ)$ ‍
Sekans a kosekans	$\sec (θ) = \csc (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\csc (θ) = \sec (90^{\circ} - θ)$ ‍

Super! Kdokoliv takto pojmenovával trigonometrické funkce, měl hluboké pochopení pro vztahy mezi nimi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.