Hlavní obsah
Slovní úlohy: doplňkové úhly
Řešíme příklad týkající se podmořské pyramidy za použití skutečnosti, že sinus úhlu je roven kosinu jeho doplňkového úhlu. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řeka Nil se rozvodnila
a zaplavila celé své okolí. Zůstala jen špička Velké
pyramidy v Gíze (Egypt). Expedice vyrazila zjistit,
jak vysoko voda stoupla. Lidé změřili hranu
pyramidy nad hladinou a zjistili, že měří
72 metrů. Takže tahle vzdálenost
je 72 metrů. Věděli, že délka
celé hrany pyramidy je 180 metrů,
když není pod vodou. Takže tahle celá délka
je 180 metrů. Také věděli, že výška
pyramidy je 139 metrů. Takže tohle
je 139 metrů. Jaká je výška hladiny
nad zemí? Takže země je právě tady,
u paty pyramidy. A oni chtěli vědět, jak
vysoko je hladina nad zemí. Takže to je tato výška,
výška v tomhle místě. Označíme si jí 'h'. Chceme zjistit,
kolik je 'h'. Pokud to bude nutné, zaokrouhlete
odpověď na 2 desetinná místa. Takže co víme,
a co chceme vědět? Takže tenhle malý úhel
nazvali theta. A tohle je, samozřejmě,
pravý úhel. Takže tento úhel
u paty pyramidy, to bude doplňkový
úhel k úhlu theta. Bude to 90 stupňů
minus theta. Díky této informaci
můžeme také odvodit, že tento úhel tady
nahoře je taky theta. Pokud vám to přijde
trochu divné, tak to napřed nakreslím tady
vedle a vysvětlíme si to. Pokud máme úhel,
pravý úhel, kde tenhle úhel tady
je 90 minus theta, a chceme zjistit,
co je tady, řekněme,
že tohle je 'x'. Takže můžeme říct, že 'x' plus
90 stupňů minus theta plus 90 stupňů se bude rovnat... víme, že součet úhlů
v trojúhelníku je vždy 180 stupňů. Takže, když odečteme 180
od obou stran, takže to je 100 a tohleto je 100. To je 180 zleva,
180 zprava. Dostaneme, že 'x' minus
theta se rovná nula. Nebo pokud přidáme theta
na obě strany, 'x' se rovná theta. Takže tahle věc nahoře
bude taky theta. Takže tohle bude theta. A co víme dál? No, víme,
že tohle je 72. A víme, že celá
tahle věc je 180. Takže tohle je 72
a tohle celé je 180. Ta část hrany, která je
po vodou, tahle vzdálenost zde. Nakreslím to tady. Udělám to černě. Tahle vzdálenost
tady bude 108. 108 plus
72 je 180. Takže, k čemu
nám to je? Chceme zjistit
tuto výšku. Víme, že tady to je
pravoúhlý trojúhelník. Vybarvím to, aby
to bylo lépe vidět. Tahle žlutá věc,
to je pravoúhlý trojúhelník. Pokud vezmeme tento
pravoúhlý trojúhelník, a chceme spočítat 'h'
s pomocí trigonometrie, využijeme goniometrickou
funkci z úhlu theta. Vidíme, že pro úhel theta
je 'h' přilehlou stranou. A strana s délkou 108
podél hrany pyramidy je přepona žlutého trojúhelníku,
který jsme si vybarvili. Takže jakou goniometrickou funkci
použijeme pro přilehlou odvěsnu a přeponu? (SOH CAH TOA - anglická pomůcka) Sinus je protilehlá
ku přeponě. To by byla tahle délka
ku přeponě. Kosinus je přilehlá
ku přeponě. Takže kosinus theta
se bude rovnat výšce, která nás zajímá. To je přilehlá
strana k úhlu theta dělená délkou přepony,
tedy dělená 108. No, to nám nepomůže,
protože neznáme kosinus theta. Máme tu
ale nápovědu. Theta je taky
tady nahoře. Takže možná, když zjistíme,
kolik je kosinus theta tady, tak na základě toho můžeme
následně spočítat 'h'. Takže když se na to podíváme,
co je to kosinus theta? A teď se díváme na jiný
pravoúhlý trojúhelník. Díváme se teď na celý
tento pravoúhlý trojúhelník. Podle tohohle velkého
pravoúhlého trojúhelníku, kolik je kosinus theta? Kosinus theta,
ještě jednou připomenu, se rovná délce přilehlé
strany děleno přeponou. Délka přilehlé
strany je právě tady. Už víme, že to
je 139 metrů. Takže se to
rovná 139 metrům. A jaká je
délka přepony? Přepona je tohle,
tahle délka. Je to 72
plus 108. Už to tu máme
napsané. Je to 180. Můžeme předpokládat,
že je to rovnoramenný... že tahle pyramida je
rovnoramenný trojúhelník. Takže 180 na téhle straně a
180 na druhé straně. Takže kosinus
je přilehlá: 139 děleno přepona, což je 180.
Děleno 180. A tohle bude
to samé. Právě jsme
si to ukázali. Takže víme, že kosinus theta
je 'h' lomeno 108. Kosinus theta je
taky 139 lomeno 180. Nebo můžeme říct, že 'h'
lomeno 108, což je kosinus theta, se také rovná 139
lomeno 180. Obě tyhle věci
odpovídají kosinu theta. Takže abychom zjistili 'h',
prostě obě strany vynásobíme 108. Proto se 'h' rovná 139
krát 108 lomeno 180. Teď si vezmeme kalkulačku
a spočítáme to. Takže to je 139 krát
108 lomeno 180, což je
83,4 metrů. Takže 'h' se
rovná 83,4 metrů. Zjišťovaná hloubka
vody je 83,4 metrů.