Hlavní obsah
Trigonometrie
Kurz: Trigonometrie > Kapitola 1
Lekce 1: Úvod do goniometrických funkcíPodobnost trojúhelníků a goniometrické funkce
Zjisti, jak jsou goniometrické funkce odvozeny z pohledu podobnosti trojúhelníků. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Na obrázku máme
dva pravoúhlé trojúhelníky. Navíc řekněme, že mají oba
úhel o velikosti theta. Tedy úhel při vrcholu A je shodný
s úhlem při vrcholu D. Co nám z toho vyplývá
pro tyto dva trojúhelníky? Pokud známe v trojúhelníku
dva úhly, známe i ten třetí. Je to proto, že součet úhlů
v trojúhelníku musí vždy být roven 180. Pokud máme dva stejné úhly
v trojúhelnících, je shodný i ten třetí. A pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly
jsou si navzájem podobné. Ještě to trochu vysvětlím. Tenhle úhel je tedy theta a tento je 90,
a dohromady musí dávat 180 stupňů. To znamená, že součet tohohle úhlu
a tohoto musí dát dohromady 90. Protože 90 je už tedy vypotřebovaných.
Tedy úhel A a úhel B jsou doplňkové úhly. Proto tady můžu napsat, že tento úhel
má velikost 90 minus theta. Tady můžem použít stejnou taktiku,
90 stupňů už máme vyčerpaných tady, Zbylé dva úhly dávají dohromady 90, a tak
bude tento úhel 90 stupňů minus theta. Vídíme už jasně, že máme tři shodné úhly. Z toho důvodu víme,
že se jedná o podobné trojúhelníky. Proč nás to vůbec tolik zajímá? Z geometrie víme, že pokud jsou
dva trojúhelníky podobné, mají pro všechny tři strany shodný
koeficinent podobnosti. Pojďme se teď podívat
právě na tyto strany. Strana, která je naproti
pravému úhlu, se nazývá přepona. Tohle je tedy přepona a odpovídá
přeponě v druhém trojúhelníku. Napíšu to sem, tohle je přepona
a tohle taky (anglicky je to hypotenuse). Které straně odpovídá
v druhém trojúhelníku strana BC? Můžeme to pojmout tak, že hledáme stranu,
která je protilehlá úhlu theta. Pokud jdeme naproti od úhlu theta,
tak to je ona. Takže naproti od thety je tady strana BC
a u druhého trojúhelníku strana EF. Tedy zjišťujeme, že straně BC
odpovídá strana EF. Strana AC je ta poslední, co zbyla. Můžeme se na ní dívat z dvou úhlů pohledů. Zaprvé je to strana,
která s přeponou svírá úhel theta. Zároveň vidíme, že úhel při vrcholu A
odpovídá úhlu při vrcholu D. Proto tato strana bude ke straně AC
příslušející. Tímto jsem chtěl jen ukázat, že poměr
mezi délkami příslušných stran u dvou podobných trojúhelníků
je stejný pro každou dvojici stran. Například poměr mezi stranami BC a BA.
Napíšu to. BC lomeno BA je rovno EF lomeno ED. Je rovno délce strany EF lomeno
délkou strany ED. Nebo to můžeme napsat jinak, že délka AC lomeno přeponou je rovno
DF lomeno DE. Je to ta zelená strana lomená oranžovou. Jsou to podobné trojúhelníky,
mají určitý poměr podobnosti. Takže tohle se rovná DF lomeno DE. A můžeme pokračovat, například poměr této
modré strany ku zelené straně. Je to délka BC lomeno CA se bude rovnat
poměru mezi modrou a zelenou stranou zde. Neboli délka strany EF lomeno délkou DF. Všechno jsme získali pouze z faktu, že
tyto dva trojúhelníky jsou podobné. Tohle platí pro všechny pravoúhlé
trojúhelníky, které mají úhel theta. Potom jsou totiž trojúhelníky podobné
a všechny tyto vztahy jsou platné. Co kdybychom tyto zlomky pojmenovali?
Tak, aby byly ve vztahu s úhlem theta. Tedy z pohledu thety, theta vypadá
pro připomenutí takto. Jak můžeme pojmenovat
poměr těchto dvou stran? Z pohledu thety je modrá strana protilehlá
a oranžová je přepona. Z pohledu thety se tedy jedná
o protilehlou stranu lomenou přeponou. Zdůrazňuji, že je to z pohledu theta. Z pohledu úhlu u vrcholu B by to totiž
bylo jiné, přilehlá lomeno přeponou. Tento vztah si ještě později probereme,
ale to dodělejme pro thetu. Jak bude ten prostřední vztah
z pohledu thety? Theta je tady, AB a DE jsou stále přepony,
jak ale můžeme nazvat strany AC a DF? Ty jsou k úhlu theta přilehlé, jsou to
strany, které s přeponou tvoří úhel theta. Toto tedy můžeme přepsat
jako zlomek mezi přilehlou stranou... ...opakuji, že je to přilehlá ke zvolenému
úhlu theta, který je u vrcholů A a D... Přilehlá strana k vrcholu A je AC
a přilehlá strana k vrcholu D je DF. Takže tento poměr můžeme v poměru k thetě
přepsat jako přilehlá ku přeponě. A bude to platit pro jakýkoli pravoúhlý
trojúhelník s úhlem theta. A na závěr poslední vztah. Tahle strana je protilehlá,
jen to tu dopíšu. Tenhle vztah můžeme stejně zapsat jako
protilehlá ku přilehlé. Tohle je opravdu důležité a budeme
to počítat ještě hodně různých příkladů. Pro každý pravoúhlý trojúhelník
s úhlem theta bude poměr mezi protilehlou stranou
a přeponou stejný. To vychází z podobných trojúhelníků,
právě jsme to objevili. Stejně tak i poměr mezi přilehlou stranou
a přeponou bude stejný. Stejný pro každý pravoúhlý trojúhelník
obsahující úhel theta. Ve vztahu k úhlu theta bude i poměr mezi
protilehlou a přilehlou stranou stejný. A na základě tohoto se matematikové
rozhodli pojmenovat tyto významné poměry. Ve vztahu k úhlu theta bude tento zlomek
stále stejný. Poměr protilehlé ku přeponě byl pojmenován
jako sinus úhlu theta. Tohle je definice sinus thety, tuto
definici ještě v dalších videích rozšířím. Tento druhý poměr je z definice
kosinus theta. A poslední je z definice
pojmenován tangens theta. Tohle jsou opravdu jen definice. Důležité ale je, že pro podobné pravoúhlé
trojúhelníky jsou tyto poměry shodné. A proto byly zavedeny tyto definice. Pro lepší zapamatování
(bohužel pro angličtinu) existuje slovní spojení soh-cah-toa. SOH znamená Sinus, Opposite (protilehlá)
lomeno Hypotenose (přepona). CAH značí Cosinus, Adjacent (přilehlá)
lomeno Hypotenose (přepona). A na konec TOA je Tangens, Opposite
(protilehlá) lomeno Adjacent (přilehlá) soh-cah-toa V dalších videích tyto definice
aplikujeme na reálné problémy.