Úvod do goniometrické jedničky

Máme tu namalovaný pravoúhlý trojúhelník, kde jeho základna je 'a', výška je 'b' a délka přepony je 'c'. My už dopředu víme, když vidíme něco takového, že z Pythagorovy věty známe vztah mezi stranami. Víme, že 'a' na druhou plus 'b' na druhou se bude rovnat druhé mocnině přepony, tedy 'c' na druhou. To, co chci udělat v tomhle videu, je prozkoumání toho, jak můžeme spojit goniometrické funkce s Pythagorovou větou. Abychom toho dosáhli, pojďme si vzít jeden z ostrých úhlů trojúhelníku. Zvolím si třeba tento úhel a označím jej theta. Pojďme se teď zamyslet nad tím, co znamená sinus theta a co je kosinus theta. Jestli, když si s tím trochu pohrajeme, tak nějakým způsobem nedostaneme Pythagorovu větu Nejprve si zopakujeme definice goniometrických funkcí. Jejich znalost budeme v tomto videu potřebovat. Sinus (anglická pomůcka SOH) je protilehlá ku přeponě. Kosinus (anglická pomůcka CAH) je přilehlá ku přeponě. Tangens(anglická pomůcka TOA) je protilehlá ku přeponě, ale v tomto videu tangens nevyužijeme. Takže pojďme se zamyslet nad sinem theta. Napíšu tuto funkci modrou barvou. Čemu se bude rovnat sinus theta? Je to protilehlá ku přeponě. Je tedy rovna délce 'b', nebo můžeme psát rovnou jen 'b' lomeno délka přepony, což je 'c'. Čemu se rovná kosinus theta? Budeme potřebovat přilehlou odvěsnu, což je strana u úhlu, tedy 'a'. Takže je to délka přilehlé odvěsny lomeno délka přepony. Co mají tyto dvě funkce společného? Vypadá to, že kdybych umocnil sinus theta, potom budu mít sinus theta na druhou je roven 'b' na druhou lomeno 'c' na druhou, a kosinus theta na druhou bude 'a' na druhou lomeno 'c' na druhou. Vypadá to celkem podobně jako Pythagorova věta. Takže to pojďme zkusit rozvinout. Sinus theta na druhou je roven 'b' na druhou lomeno 'c' na druhou. Teď jsem jen umocnil obě strany. Kosinus theta je roven 'a' na druhou lomeno 'c' na druhou. Co když to teď sečtu? Čemu se rovná sinus theta na druhou plus kosinus theta na druhou? Čemu se to tedy bude rovnat? Sinus theta na druhou je 'b' na druhou lomeno 'c' na druhou plus 'a' na druhou lomeno 'c' na druhou. To se bude rovnat... Budeme mít společný jmenovatel 'c' na druhou. A čitatel bude 'b' na druhou plus 'a' na druhou. Čemu se ale rovná 'b' na druhou plus 'a' na druhou? To jsem si přeci psali hned na začátku! Pythagorova věta říká, že 'b' na druhou plus 'a' na druhou nebo nebo naopak, se bude rovnat 'c' na druhou. Takže můžeme čitatel zjednodušit na 'c' na druhou. A tím nám tu zbyde 'c' na druhou lomeno 'c' na druhou, což je přeci rovno 1. Takže jsme si to odvodili na základě definic. V dalším videu si to ukážeme na jednotkové kružnici. Ale jak vidíte, pouhým užitím definic goniometrických funkcí, můžeme vidět asi ten nejdůležitější vztah mezi goniometrickými funkcemi. Ten říká, že sinus theta na druhou, sinus úhlu na druhou, plus kosinus na druhou toho samého úhlu... ...používám zbytečně oranžovou... ...plus kosinus na druhou stejného úhlu se vždy bude rovnat 1. Teď si asi řeknete, že to je sice fajn, ale kde je pointa toho všeho? Proč by mě mělo něco takového zajímat? No pointa je v tom, že pokud znám sinus úhlu, můžu velmi lehce určit kosinus toho samého úhlu a naopak. Takže tohle vážně docela silný, silný nástroj. A navíc nám to nahrává na další téma, kterým je definice jednotkové kružnice.