Načítám

Transkript

Teď si ukážeme důkaz sinové věty. Nakreslím nějaký obecný trojúhelník. Zde mám jednu stranu a tady druhou. Pokusím se ho nakreslit trochu zvláštně, abyste viděli, že tuto větu lze použít pro jakýkoliv trojúhelník. A řekněme, že známe tento úhel - vlastně neřeknu, co známe a co ne. Sinová věta se zabývá poměry mezi úhly a stranami. Řekněme, že tento úhel je alfa. Tato strana je A Má délku A. Řekněme, že toto je úhel beta, a délka této strany je B. Řecké písmeno beta je B s dlouhým koncem. Podívejme se, zda dokážeme najít poměr mezi stranami A a B a úhly alfa a beta. Co můžeme tedy udělat? Doufejme, že nalezený poměr bude odpovídat tomu, co nám říká sinová věta. Jinak budu muset přejmenovat toto video. Nakreslím zde výšku. - Myslím, že to je správný název. - Pokud narýsuji z této strany přímku přímo dolů a bude kolmá na tuto dolní stranu, kterou jsem neoznačil, ale pokud musím, tak ji označím C, protože tu už mám A a B. A toto bude pravý úhel. Tuto délku neznám. Nic o ní nevím. Co vím je, že jsem z tohoto vrcholu spustil kolmici na tuto stranu. Takže, co můžeme udělat s touto kolmicí? Řekněme, že má délku 'x'. Délka je 'x'. Dokážeme najít poměr mezi přímkou A, délkou kolmice 'x' a úhlem beta? Jasně, že ano. Podívejme se na to. - Najdu si vhodnou barvu - OK - Myslím, že toto je dobrá barva. - Takže, o jaký poměr se jedná? Pokud se podíváme na tento úhel, úhel beta, pak strana 'x' je k němu protilehlá a strana A je přepona... pokud se podíváme na tento pravoúhlý trojúhelník. Která funkce je spojena s protilehlou stranou a přeponou? (nepřeložitelná slovní hříčka týkající se trigonometrie) Která funkce se vztahuje k protilehlé straně a přeponě? Sinus A to jste nejspíš uhodli, protože dokazuji sinovou větu. Takže sinus beta se rovná protilehlé straně dělené přeponou. Rovná se protilehlé, což je 'x', lomeno přeponou, což je v tomto případě A. A teď vypočítám 'x', protože se to bude hodit později, vynásobíme obě strany této rovnice 'A' a a dostanete 'A' sin BETA = 'x'. Dobrá. Nyní jsme se někam dostali. Podívejme, jestli můžeme najít poměr mezi alfou, B a 'x'. A podobně, pokud se podíváme na tento pravoúhlý trojúhelník, protože toto je samozřejmě také pravoúhlý trojúhelník, 'x' vzhledem k alfě je také protilehlá strana a B je nyní přepona. Můžeme také napsat, že sinus alfa - Udělám to jinou barvou - se rovná protilehlé straně lomeno přeponou. Protilehlá je 'x' a přepona je B. A zkusme znovu vypočítat 'x'... Vynásobíme obě strany délkou B a dostaneme B sin (alfa) = 'x' Co tu máme teď? Máme dva rozdílné způsoby pro výpočet 'x', je to tak? Máme A sin (beta) = 'x' a B sin (alfa) = 'x' Jelikož se obě rovnají 'x', rovnají se i navzájem. Napíšu to. Napíšu to uklidňující barvou. Víme, že A sin (beta) = 'x' což se také rovná B sin (alfa) Pokud vydělíme obě strany rovnice A, co dostaneme? Dostaneme sin (beta), protože se A na této straně vyruší.... se rovná... B sin (alfa) lomeno A Pokud vydělíme obě strany rovnice B, dostaneme sin (beta) lomeno B = sin (alfa) lomeno A To je sinová věta. Poměr mezi sinus beta a protilehlé strany - A je to tato strana, toto B - se rovná poměru sinu alfy a její protilehlé strany. A často se v knihách píše, že pokud by tento úhel byl theta, a toto bylo C, že se to také rovná sin (theta) lomeno C A důkaz je stejný. B jsme si vybrali náhodou, mohli jsme udělat to samé s theta a C, ale místo této výšky bychom museli použít jednu z těchto výšek. Myslím, že na to dokážete přijít. Ale důležité je, že máme tento poměr. A samozřejmě se to dá napsat i - jelikož je to poměr - můžeme obrátit obě strany poměru, můžeme to napsat jako B lomeno sin (beta) = A lomeno sin (alfa) A to je užitečné, protože pokud známe jednu stranu a odpovídající úhel, úhel oproti ní a řekněme, že známe i další stranu, můžeme vypočítat zbývající úhel. Pokud víme tři věci, můžeme vypočítat čtvrtou. A proto je sinová věta užitečná. Teď můžeme vypočítat pár slovních úloh na sinovou větu. Na shledanou v příštím videu.