Hlavní obsah
Dokazování sinové věty
Jednoduchý důkaz sinové věty Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Teď si ukážeme důkaz sinové věty. Nakreslím nějaký obecný trojúhelník. Zde mám jednu stranu a tady druhou. Pokusím se ho nakreslit trochu zvláštně, abyste viděli, že tuto větu
lze použít pro jakýkoliv trojúhelník. Řekněme, že známe tento úhel. Vlastně nebudu říkat,
co známe a co ne. Sinová věta se zabývá
poměry mezi úhly a stranami. Řekněme, že tento úhel je alfa. Tato strana je A Má délku A. Řekněme, že toto je úhel beta, a délka této strany je B. Řecké písmeno beta je B s dlouhým koncem. Podívejme se, zda dokážeme
najít poměr mezi stranami A a B a úhly alfa a beta. Co můžeme tedy udělat? Doufejme, že nalezený poměr bude odpovídat tomu,
co nám říká sinová věta. Jinak budu muset přejmenovat toto video. Nakreslím zde výšku. Pokud narýsuji z této strany
úsečku přímo dolů a bude kolmá na tuto dolní stranu, kterou jsem neoznačil, ale pokud musím, tak ji označím C, protože tu už mám A a B. A toto bude pravý úhel. Tuto délku neznám. Nic o ní nevím. Co vím je, že jsem
z tohoto vrcholu spustil kolmici na tuto stranu. Takže, co můžeme
udělat s touto kolmicí? Řekněme, že má délku 'x'. Délka je 'x'. Dokážeme najít poměr mezi délkou strany A, délkou úsečky 'x' a úhlem beta? Jasně, že ano. Podívejme se na to. Takže, o jaký poměr se jedná? Pokud se podíváme na úhel beta,
pak strana 'x' je k němu protilehlá a strana A je přepona. Která funkce je spojena
s protilehlou stranou a přeponou? (nepřeložitelná slovní hříčka
týkající se trigonometrie) Která funkce se vztahuje
k protilehlé straně a přeponě? Sinus. To jste nejspíš uhodli,
protože dokazuji sinovou větu. Takže sinus beta se rovná protilehlé odvěsně dělené přeponou. Rovná se protilehlé odvěsně, což je 'x', lomeno přeponou,
což je v tomto případě A. A teď vypočítám 'x', protože se to bude hodit později, vynásobíme obě strany této rovnice 'A' a dostanete 'A' sin BETA = 'x'. Dobrá. Nyní jsme se někam dostali. Podívejme, jestli
můžeme najít poměr mezi alfou, B a 'x'. A pokud se podíváme
na tento trojúhelník, který je samozřejmě také
pravoúhlý, 'x' vzhledem k alfě
je také protilehlá strana a B je nyní přepona. Můžeme také napsat, že sinus alfa se rovná protilehlé odvěsně
lomeno přeponou. Protilehlá je 'x' a přepona je B. Zkusme znovu vypočítat 'x'. Vynásobíme obě strany
délkou B a dostaneme B sin (alfa) = 'x' Co tu máme teď? Máme dva rozdílné způsoby pro výpočet 'x', je to tak? Máme A sin (beta) = 'x' a
B sin (alfa) = 'x' Jelikož se obě rovnají 'x', rovnají se i navzájem. Napíšu to. Napíšu to uklidňující barvou. Víme, že A sin (beta) = 'x',
což se také rovná B sin (alfa) Pokud vydělíme obě strany
rovnice A, co dostaneme? Dostaneme sin (beta),
protože A se na této straně vykrátí, se rovná
B sin (alfa) lomeno A. Pokud vydělíme obě
strany rovnice B, dostaneme sin (beta) lomeno B = sin (alfa) lomeno A To je sinová věta. Poměr mezi sinus úhlu beta
a jeho protilehlé strany se rovná poměru sinu úhlu alfa
a jeho protilehlé strany. A často se v knihách píše, že pokud by tento úhel byl theta,
a toto bylo C, že se to také rovná sin (theta) lomeno C. A důkaz je stejný. Vybrali jsme si zrovna B, ale mohli jsme udělat to samé
s theta a C, ale místo této výšky bychom
museli použít jednu z těchto výšek. Myslím, že na to dokážete přijít. Ale důležité je, že máme tento poměr. A jelikož je to poměr, můžeme obrátit obě jeho strany a můžeme to napsat jako B lomeno sin (beta) = A lomeno sin (alfa) To je užitečné, protože pokud známe jednu stranu a odpovídající úhel, úhel oproti ní a řekněme, že známe i další stranu, můžeme vypočítat zbývající úhel. Pokud známe tři údaje,
můžeme vypočítat čtvrtý. A proto je sinová věta užitečná. Teď můžeme vypočítat pár
slovních úloh na sinovou větu. Na shledanou v příštím videu.