Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:34

Transkript

Teď si ukážeme důkaz sinové věty. Nakreslím nějaký obecný trojúhelník. Zde mám jednu stranu a tady druhou. Pokusím se ho nakreslit trochu zvláštně, abyste viděli, že tuto větu lze použít pro jakýkoliv trojúhelník. Řekněme, že známe tento úhel. Vlastně nebudu říkat, co známe a co ne. Sinová věta se zabývá poměry mezi úhly a stranami. Řekněme, že tento úhel je alfa. Tato strana je A Má délku A. Řekněme, že toto je úhel beta, a délka této strany je B. Řecké písmeno beta je B s dlouhým koncem. Podívejme se, zda dokážeme najít poměr mezi stranami A a B a úhly alfa a beta. Co můžeme tedy udělat? Doufejme, že nalezený poměr bude odpovídat tomu, co nám říká sinová věta. Jinak budu muset přejmenovat toto video. Nakreslím zde výšku. Pokud narýsuji z této strany úsečku přímo dolů a bude kolmá na tuto dolní stranu, kterou jsem neoznačil, ale pokud musím, tak ji označím C, protože tu už mám A a B. A toto bude pravý úhel. Tuto délku neznám. Nic o ní nevím. Co vím je, že jsem z tohoto vrcholu spustil kolmici na tuto stranu. Takže, co můžeme udělat s touto kolmicí? Řekněme, že má délku 'x'. Délka je 'x'. Dokážeme najít poměr mezi délkou strany A, délkou úsečky 'x' a úhlem beta? Jasně, že ano. Podívejme se na to. Takže, o jaký poměr se jedná? Pokud se podíváme na úhel beta, pak strana 'x' je k němu protilehlá a strana A je přepona. Která funkce je spojena s protilehlou stranou a přeponou? (nepřeložitelná slovní hříčka týkající se trigonometrie) Která funkce se vztahuje k protilehlé straně a přeponě? Sinus. To jste nejspíš uhodli, protože dokazuji sinovou větu. Takže sinus beta se rovná protilehlé odvěsně dělené přeponou. Rovná se protilehlé odvěsně, což je 'x', lomeno přeponou, což je v tomto případě A. A teď vypočítám 'x', protože se to bude hodit později, vynásobíme obě strany této rovnice 'A' a dostanete 'A' sin BETA = 'x'. Dobrá. Nyní jsme se někam dostali. Podívejme, jestli můžeme najít poměr mezi alfou, B a 'x'. A pokud se podíváme na tento trojúhelník, který je samozřejmě také pravoúhlý, 'x' vzhledem k alfě je také protilehlá strana a B je nyní přepona. Můžeme také napsat, že sinus alfa se rovná protilehlé odvěsně lomeno přeponou. Protilehlá je 'x' a přepona je B. Zkusme znovu vypočítat 'x'. Vynásobíme obě strany délkou B a dostaneme B sin (alfa) = 'x' Co tu máme teď? Máme dva rozdílné způsoby pro výpočet 'x', je to tak? Máme A sin (beta) = 'x' a B sin (alfa) = 'x' Jelikož se obě rovnají 'x', rovnají se i navzájem. Napíšu to. Napíšu to uklidňující barvou. Víme, že A sin (beta) = 'x', což se také rovná B sin (alfa) Pokud vydělíme obě strany rovnice A, co dostaneme? Dostaneme sin (beta), protože A se na této straně vykrátí, se rovná B sin (alfa) lomeno A. Pokud vydělíme obě strany rovnice B, dostaneme sin (beta) lomeno B = sin (alfa) lomeno A To je sinová věta. Poměr mezi sinus úhlu beta a jeho protilehlé strany se rovná poměru sinu úhlu alfa a jeho protilehlé strany. A často se v knihách píše, že pokud by tento úhel byl theta, a toto bylo C, že se to také rovná sin (theta) lomeno C. A důkaz je stejný. Vybrali jsme si zrovna B, ale mohli jsme udělat to samé s theta a C, ale místo této výšky bychom museli použít jednu z těchto výšek. Myslím, že na to dokážete přijít. Ale důležité je, že máme tento poměr. A jelikož je to poměr, můžeme obrátit obě jeho strany a můžeme to napsat jako B lomeno sin (beta) = A lomeno sin (alfa) To je užitečné, protože pokud známe jednu stranu a odpovídající úhel, úhel oproti ní a řekněme, že známe i další stranu, můžeme vypočítat zbývající úhel. Pokud známe tři údaje, můžeme vypočítat čtvrtý. A proto je sinová věta užitečná. Teď můžeme vypočítat pár slovních úloh na sinovou větu. Na shledanou v příštím videu.