Hlavní obsah
Řešení velikosti úhlů se sinovou větou
Máme zadaný trojúhelník přičemž známe délky dvou jeho stran a velikost jednoho úhlu. Pomocí sinové věty dopočítáme velikost zbývajících dvou úhlů. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řekněme, že jste venku
a pouštíte s kamarádem draky a jste 40 metrů od vašeho kamaráda a víte, že provázek od draka
je 30 metrů dlouhý. A změříte úhel mezi drakem a zemí,
na které stojíte. Ten úhel je v tomto případě 40 stupňů. A zajímá vás, jestli
dokážeme použít trigonometrii, abychom určili úhel
mezi provázkem a zemí. Doporučuji si video
pozastavit a zkusit, zda to pomocí těchto
informací dokážete určit. Když vidím trojúhelník,
pravděpodobně ne pravoúhlý, u kterého potřebuji určit délky stran, vzpomenu si na kosinovou větu, která se může hodit
společně se sinovou větou. Takže se zamysleme,
která se bude víc hodit. Kosinová věta, zde si to napíšu, kosinová věta bude ‚c‘
na druhou se rovná ‚a‘ na druhou plus ‚b‘ na druhou minus 2 krát ‚a‘ krát ‚b‘ krát kosinus theta. Takže se nám vztahuje ke třem stranám trojúhelníka. Takže ‚a‘, ‚b‘ a ‚c‘ a úhel. Takže například, když znám dvě strany a úhel mezi nimi, můžu vyřešit délku třetí strany. Když znám všechny tři strany mohu vyřešit zbylý úhel. To ale není naše situace. Chceme vyřešit zde tento otazník. Ale neznáme všechny strany. Takže alespoň na první pohled
nám kosinová věta nepomůže. Mohl bych zkusit zjistit
velikost tohoto úhlu. Ale ještě jednou zopakuji,
neznáme všechny tři strany. Takže zkusme sinovou větu. Sinová věta. Řekněme, že zde máme
velikost úhlu ‚a‘. velikost tohoto úhlu bude ‚b‘ a velikost posledního bude ‚c‘. Délka této strany bude velké ‚C‘, délka této strany velké ‚A‘ a délka této strany velké ‚B‘. Sinová věta nám říká,
že poměr sinu každé této strany a délky protilehlé strany
je konstantní. Takže sinus ‚a‘ děleno velké ‚A‘ se rovná sinu ‚b‘ děleno velké ‚B‘, což se také bude rovnat sinu ‚c‘ děleno velké ‚C‘. Pojďme se podívat,
jak to můžeme využít. Známe tento úhel a jeho
protilehlou stranu. Takže si napíšeme jejich poměr. Sinus 40 děleno 30. Podívejme se na to. Můžeme říct,
že se tohle bude rovnat sinu tohoto úhlu děleno
touto stranou? Vlastně ano. Akorát neznáme
ani jednu z hodnot. Takže by nám to moc nepomohlo. Avšak známe tuto stranu. Možná bychom mohli
použít kosinovou větu. k vyřešení tohoto úhlu. Takže to zkusme. Řekněme, že tento úhel zde
bude úhel theta. Víme, že tato vzdálenost
je 40 metrů. Takže můžeme říct, že sinus úhlu theta
děleno 40, tento poměr, bude stejný jako poměr sinus 40 děleno 30. Takže už jen vyřešíme
velikost úhlu theta. Vynásobíme obě strany rovnice 40, dostaneme, podívejme se na to, 40 děleno 30 neboli čtyři třetiny, čtyři třetiny sinu 40 stupňů
se rovná sinu theta, se rovná sinu theta. Nyní chceme vyřešit úhel theta, vezmeme si tedy
inverzní sinus obou stran. Takže inverzní sinus 4 děleno 3 sinus
40 stupňů. Bude rovno theta. Takže dostaneme tady tento úhel. A tento a ještě tento údaj použijeme, abychom zjistili velikost úhlu,
který potřebujeme. Takže vytáhneme kalkulačky
a počítáme. Jen si ověřte, že máte
kalkulačku nastavenou na stupně. Což je důležité. Dobře, takže si vezmeme
inverzní sinus ze čtyř třetin krát sinus 40 stupňů, z čehož dostaneme, teď by se hodil pořádný virbl, 58, tedy po zaokrouhlení, zůstaňme alespoň trochu přesní. Zhruba 58,99 stupňů. Toto se rovná přibližně 58,99 stupňů. Takže, pokud to je těchto
58,99 stupňů, jaký bude tento? Tento bude 180 minus
velikost tohoto úhlu, minus velikost tohoto. Takže si to vypočítejme. Bude to 180 minus
tento úhel, tedy minus 40, minus tento úhel,
který jsme zrovna vypočítali. Vlastně si jen vezmu druhý výsledek. Dostanu tak aspoň nějakou přesnost, což nám nakonec dá 81,01 stupňů. Pokud zaokrouhlím na nejbližší, řekněme, že chci zaokrouhlit
na nejbližší setiny stupně, potom bych dostal 81,01 stupňů. Takže zde máme přibližně 81,01 stupně a jsme hotovi.