Hledání velikosti úhlu pomocí kosinové věty

Řekněme, že zkoumáte nějaký druh pahorku nebo horninový útvar. Umíte změřit jeho rozměry a tak víte, že z tohoto bodu sem, po straně základny, rovnoběžně se zemí, je to 60 metrů. Znáte velikost té prudší strany, prudší strana nebo hrana tohoto útesu, nebo jak to chcete nazývat, je 20 metrů. A tato delší strana zde, myslím, tu méně prudkou, je 50 metrů dlouhá. Změřili jste to. Teď ale chceme využít naši znalost trigonometrie, abychom vypočítali, jak prudká je tato strana, z těch informací, co máme. Jaký má tato strana sklon vzhledem k povrchu země? Nebo-li jinak, jak velký je tento úhel théta? Zkuste zastavit video a popřemýšlet nad tím sami. Možná už vám to něco říká. Znáte 3 strany trojúhelníku, a chceme vypočítat úhel. První, co mě napadá je, že bychom mohli využít kosinové věty. Zapíšu ji tady, než se pokusíme ji aplikovat na náš trojúhelník. Kosinová věta zní: C na druhou se rovná A na druhou plus B na druhou, minus 2AB krát kosinus théty. A jenom abychom si připomněli, co značí A, B, C, C je strana protější k thétě. Takže kdybych tady načrtl libovolný trojúhelník, toto je náš úhel théta, a tím pádem toto musí být strana C a A a B můžou být kterékoliv tyto strany. Takže A může být tato strana a B může být tato. Nebo klidně naopak. Jak vidíte, A a B mají víceméně tu samou úlohu v tomto vzorečku. Toto může být B nebo A, je to jedno. Co chceme udělat, je zapojit thétu... Chceme vypočítat velikost théty v našem příkladu s kopcem. Takže pokud je toto théta, jak velká bude strana C? C bude tato 20-metrová strana. A za A a B můžeme označit kteroukoliv z těchto stran. Můžeme říct, že A je 50 metrů a B je 60 metrů. A teď použijeme kosinovou větu. Kosinova věta nám říká, že 20 na druhou se rovná A na druhou, tedy 50 na druhou, plus B na druhou, plus 60 na druhou, minus 2 krát AB. Takže minus 2 krát 50 krát 60, krát kosinus théty. Bude to pro nás hračka, protože máme zadány všechny hodnoty. Máme tu jen jednu neznámou, thétu. Tak, pojďme zkusit vypočítat thétu. Takže 20 na druhou je 400. 50 na druhou je 2500. 60 na duhou je 3600. A pak 50 krát... 2 krát 50 je 100, krát 60, to celé se rovná 6000. Pojďme to zkusit trošku zjednodušit. Dostaneme 400 se rovná 2500 plus 3600. To by bylo 6100. Použiju na to jinou barvu. Když sečtu tyto dvě hodnoty, dostanu 6100. Je to správně? Ano. Je to 2000 plus 3000 je 5000, 500 plus 600 je 1100. Takže mám 6100 minus 6000, krát kosinus théty. Teď odečteme 6100 z obou stran rovnice. Odečtu 6100 z obou stran, abych měl jednodušší uvolnění théty. Pojďme na to. Tady bude záporná hodnota -5700. Mám pravdu? 5700 plus... Jo, je to tak. Protože kdyby to bylo naopak, kdyby to bylo 6100 minus 400, výsledek by byl kladných 5700. Tak. A tyto dvě čísla se vyruší. Toto se bude rovnat -6000 krát kosinus théta. Teď můžeme obě strany vydělit -6000. Dostaneme... Prohodím strany. Kosinus théta se rovná... Mohli bychom čitatel a jmenovatel vynásobit -100. Takže obě budou kladné. Takže kosinus théta se rovná 57 lomeno 60. A to se dá zjednodušit ještě víc. 57 děleno 3 je 19, ne? Ano, takže vlastně... To můžeme zjednodušit. Toto se rovná 19/20. Ani jsme to vlastně nemuseli zjednodušovat, protože stejně to vypočítáme na kalkulačce. Ale trošku jsme si to usnadnili. Tak, 57 děleno 3 je 19, správně. Teď se zbavíme kosinu tady, takže vynásobíme obě strany kosinem na -1. Vyjde nám, že théta se rovná kosinu na -1, tedy arkus kosinus 19/20. Na to si vytáhneme kalkulačku. Uvidíme, jestli nám vyjde něco smysluplného. Takže kosinus na -1 19/20. Chvilka napětí... Vyšlo nám 18,19 stupňů. Už jsem si ověřil, že kalkulačka udává stupně. Takže 18,19 stupňů. Pokud to zaokrouhlíme, tak to bude asi 18,2 stupňů, když to zaokrouhlíme na jedno desetinné číslo. Takže teď už víme, jak je tento svah prudký.