Dokazování kosinové věty

V minulém videu jsme se zabývali příkladem na vyřešení stran v trojúhelníku. Nebyl to ale pravoúhlý trojúhelník, proto jsme nemohli použít Pythagorovu větu. Byl to náhodný trojúhelník a my jsme to zaonačili skrze SOH-CAH-TOA, zkombinovali jsme trigonometrické funkce a dostali se ke správnému výsledku. V tomto videu bych vás rád seznámil s takzvanou kosinovou větou. Tu jsme v podstatě dokázali v minulém videu, ale teď bych to chtěl rozebrat vice bez konkrétního zadání, které by nás navádělo, co je třeba udělat. Chci vám také ukázat užitečnost této věty, abyste jí dokázali použít v příkladech. Maličko nevím, jak to pojmout, protože sám nemám rád pamatování nazpaměť. Až vám bude 40 let, tak si už asi nebude kosinovou větu pamatovat, ale pokud budete rozumět trigonometrickým funkcí a budete umět je použít, nebude mít problém si to odvodit. Byl bych překvapený, kdybyste to ve 40 počítali, ale kdo ví? Pojďme si tedy rozebrat kosinovou větu. Řekněme, že znám tento úhel, pojmenuji ho théta. Tuto stranu také znám a nazvu si jí "b". ...udělám popisek stejnou barvou, jako je ta strana... Takže tohle je "b" a tuhle stranu pojmenuju "c". Poslední strana bude "a". Pokud by to byl pravoúhlý trojúhelník, mohli bychom použít Pythagorovu větu. Ale není, takže nemůžeme. Co teď s tím? Známe strany "b" a "c" i úhel théta a chceme vyřešit délku strany "a". Platí, že pokud známe tři údaje, dokážeme vypočítat čtvrtý. Pokud tedy známe kosinovou větu. Jak tedy na to? Uděláme to úplně stejně, jako v minulém videu. Z této strany spustíme úsečku. Jej to se mi nepovedlo, zkusím to znovu. ...chci to vrátit... Spustím z tohoto vrcholu úsečku a tím vytvořím dva pravé úhly. A teď když mám pravoúhlý trojúhelník, může použít trigonometrické funkce nebo i Pythagorovu větu a tak dále. Máme tedy pravý úhel tady a tady. Čím je tato strana? ...jen vyberu barvu, možná už jich je moc, ale je to pak přehlednější... Co je tedy tato strana? Jaká je délka fialové strany? No zjistíme to jednoduše pomocí trigonometrických funkcí. Anglická pomůcka má tvar soh-cah-toa. Tato fialová strana je přilehlá k thétě. No a strana "b" je přeponou v tomto pravoúhlém trojúhelníku. Víme tedy, že... ...budu používat jen jednu barvu, abych to pořád nemusel přepínat... Víme, že kosinus théty se rovná... Pojďme si pojmenovat tuhle část strany "c" jako "d". Kosinus théty je rovno d lomeno b, které známe. Nebo vyjádříme "d" jako d se rovná b krát kosinus théty. A tuhle část si pojmenujeme "e". Jak je dlouhá "e"? Je to vlastně rozdíl mezi stranou "c" a její částí "d". Můžeme psát, že e se rovná c minus d. Délku strany "d" už tu máme vyjádřenou, takže jí jen dosadíme. Strana "e" se tedy rovná c minus b krát kosinus théty. Takto bychom vypočítali stranu "e". Jak bychom vyjádřili tutu vínovou stranu? Pojmenujeme si jí třeba "m". Strana "m" je protilehlá k úhlu théta. Jaká funkce zahrnuje protilehlou stranu? Známe navíc přeponu i stranu přilehlou. Která funkce může být vyjádřena jako m lomeno b? Neboli jako protilehlá ku přeponě. Přesně takto je definován sinus, jako protilehlá ku přeponě. Víme tedy, že m lomeno b je rovno sinu théty. A když zase vyjádřím "m" tak je to m se rovná b krát sinus théty. Zjistili jsme tedy délku stran "m" a "e" a teď bychom chtěli i stranu "a". Navážeme na to. Známe dvě strany v pravoúhlém trojúhelníku a chceme zjistit délku přepony "a". Tady můžeme použít Pythagorovu větu. Dle Pythagorovy věty platí a na druhou se rovná m na druhou plus e na druhou. Jen musíme všechno umocnit na druhou. Čemu se rovná m na druhou plus e na druhou? ...teď zase přepnu na jinou barvu... Takže a na druhou je rovno m na druhou, přičemž m se rovná b krát sinus théty. Je to tedy b krát sinus théty, to celé na druhou. Plus e na druhou, kde e je rovno c minus b krát kosinus théty. Připíšu tedy plus (c minus b krát kosinus théty) na druhou. Teď už to zbývá jen nějak upravit. Tady budeme mít b nadruhou krát sinus na druhou théty. Sinus na druhou théty je to samé jako (sinus théty) na druhou. Plus... ...tohle musíme udělat podle vzorečku. ...samozřejmě bychom to mohli i roznásobit... ...bude tady c na druhou minus 2 krát c krát b krát kosinus théty plus b na druhou kosinus na druhou théty. Jen jsem závorku rozložil pomocí roznásobení. Pojďme se teď podívat, co dál s tím můžeme udělat. Pokud si vezmeme tento výraz a tento a napíšeme je k sobě, budeme mít b na druhou krát sinus na druhou théty plus b na druhou krát kosinus na druhou théty. ...tady jsem nedopsal druhou mocninu, umocňovali jsme to přeci... A zbývá nám tam plus c na druhou minus 2 krát b krát c krát cosinus théty. Jak můžeme tyto vybrané výrazy upravit? Můžeme vytknout b na druhou. Bude to b na druhou krát (sinus na druhou théty plus kosinus na druhou théty). Při pohledu na závorku byste si měli něco vybavit. A opíšu plus c na druhou minus 2 krát b krát c krát kosinus théty. Ta závorka, součet druhých mocnin sinu a kosinu libovolného stejného úhlu, je 1. Je to jedna z identit, které jsme již probrali. Pokud se toto rovná jedné, zbyde nám tam... ...už to skoro máme, zase přepnu barvu... a na druhou se rovná b na druhou plus c na druhou minus 2 krát b krát c krát kosinus théty. Vyšlo nám to hezky, tento výraz byl pojmenován jako Kosinová věta. Je to celkem užitečný vztah, pokud známe úhel a dvě strany libovolného trojúhelníku, můžeme pomocí ní dopočítat vše ostatní. Anebo můžou být zadány tři strany a my máme dopočítat jakýkoli úhel. To je též velmi užitečné. To, co se mi na tom tolik nelíbí, je, že se ten vztah naučíte nazpaměť, protože v testu není čas na odvozování, potřebujete být rychlejší. Nemyslím si ale, že je dobré si vzoreček zapamatovat bez vědomí, odkud se vzal. A to z toho důvodu, že takto zapamatované věci už za rok nebo za dva nevybavíte. Pokud si to ale budete umět odvodit, určitě to vybavení bude jednodušší. Tohle je tedy ta kosinová věta. Pokud už jí znáte, vyřešili byste tento příklad mnohem rychleji než my tady. Stačí jen si pojmenovat trojúhelník, dosadit sem a vyřešit. Těším se na vás v příštím videu.