Načítám

Transkript

Zeptali se nás, v kolika bodech se grafy y = sinθ a y = cosθ protnou pro θ mezi 0 a 2π. 0 je menší nebo rovno θ a θ je menší nebo rovno 2π. 0 a 2π jsou možnými hodnotami pro θ. Pro tento účel jsem sestavil malou tabulku pro θ, cosθ a sinθ. Tu můžeme použít… …a jednotkovou kružnici… …k doufejme rychlému znázornení grafů pro 'y' je sinθ a 'y' je cosθ. Pak se můžeme zamýšlet, kolikrát se protnou a možná taky kde se vlastně protnou. Tak tedy začínáme. Pro začátek, toto je jednotková kružnice. Toto je osa 'x' a toto je osa 'y'. Tady znázorníme tyto dva grafy. Toto bude osa 'y'. A bude funkcí 'θ', ne 'x', na horizontální ose. Nejdříve se zamysleme, co se stane, když se θ rovná 0. Je-li θ rovno 0, jste v tomto bodě zde. Udělám to jinou barvou. Jste v tomto bodě jednotkové kružnice. Co je to za souřadnici? Je to bod [1,0]. Na základě toho, čemu se rovná cosθ, je-li θ rovno 0? cosθ je 1 a sinθ bude 0. Toto je souřadnice 'x' průsečíku s jednotkovou kružnicí. Tohle je souřadnice 'y'. Pokračujeme. Co (π lomeno 2)? (π lomeno 2). Jsme tady. Co je to za souřadnici? Teď se 'x' rovná 0 a 'y' je 1. Na základě toho je cosθ roven 0. Čemu je roven sinθ? To bude 1. Je to tato souřadnice 'y'. Podívejme se teď na π. Jsme v tomto bodě jednotkové kružnice. Jaká je to souřadnice? Je to [-1,0]. Kolik je cosθ? Jaká je tady souřadnice 'x'? Je to -1 a sinθ bude souřadnice 'y', která je rovna 0. Jedeme dál. Dostali jsme se k (3π lomeno 2). Půjdeme-li až k (3π lomeno 2), jaké budeme mít souřadnice? Bude to [0, -1]. cosθ je tato souřadnice 'x'. cosθ bude tedy 0. Jaká bude hodnota sinθ? Ta bude -1. Teď se konečně dostáváme k 2π, čímž jsme udělali celou otočku. Šli jsme dokola celé kružnice a jsme zpátky v tomto bodě zde. Tyto souřadnice jsou ty samé, jako když je úhel roven 0 radiánů. Kolik je tedy cosθ? Je to 1. A sinθ je 0. Z tohoto můžeme hrubě načrtnout graf a přemýšlet, kde se můžou protnout. Začneme nejprve s cosθ. Když se θ rovná 0… Jen to tady označím. Toto je 'y' rovno 1. Toto je 'y' rovno -1. Takže 'y' je cosθ. θ se rovná 0, cosθ je 1. Takže cosθ je 1. Je-li θ rovno (π lomeno 2), cosθ se rovná 0. Je-li θ rovno π, cosθ se rovná -1. Je-li θ rovno (3π lomeno 2), cosθ se rovná 0. To je přesně tady. Nakonec, když je θ rovno 2π, cosθ se opět rovná 1. A křivka bude vypadat nějak takhle. Snažím se ji nakreslit nejlépe jak umím. Hezky hladkou křivku. Takže bude vypadat nějak takhle. Vzhled těchto křivek by vám měl být v tomto momentě povědomý. Toto je graf znázorňující 'y' je cosθ. Udělejme to samé pro sinθ. Je-li θ rovno 0, sinθ je 0. Je-li θ rovno (π lomeno 2), sinθ je 1. Je-li θ rovno π, sinθ je 0. Je-li θ rovno (3π lomeno 2), sinθ je -1. Je-li θ rovno 2π, sinθ je 0. Graf pro sinθ bude vypadat nějak takhle. Můj nejlepší pokus. Bude to vypadat nějak takto. Nad danou otázkou se můžeme zamyslet i pouze díky obrázku. V kolika bodech se grafy 'y' je sinθ a 'y' je cosθ protnou pro tyto hodnoty θ? Pro θ mezi 0 and 2π, včetně těchto dvou bodů. Jen se podívejte na tento graf, vidíte dva průsečíky. Tento bod tady a tento bod tady. Jen mezi 0 a 2π. Jde o cyklické grafy, kdyby pokračovaly, znovu by se protínaly. Ale v rámci rozsahu pro θ od 0 do 2π dostanete dva průsečíky. Zamysleme, co jsou zač, protože vypadají, že jsou docela blízko mezi 0 a (π lomeno 2) a přesne mezi π a (3π lomeno 2). Podívejme se sa jednotkovou kružnici a zjistěme, co je to za hodnoty. Vypadá to, že tohle je (π lomeno 4). Pojďme si to oveřit. Zamysleme se, co jsou hodnoty pro (π lomeno 4). (π lomeno 4) je tento úhel. Toto je (π lomeno 4). (π lomeno 4) je to samé jako úhel 45 °. Pojďme si tady zaznačit (π lomeno 4). Teď musíme přijít na to, jaký je tento bod, jaké jsou jeho souřadnice. Udělejme si z toho pravoúhlý trojuhelník. Co víme o tomto pravoúhlém trojúhelníku? Nakreslím to sem, ať máme jasno. Toto je typický pravoúhlý trojúhelník. Je dobré se s ním obeznámit. Nakreslím ho jak nejlépe umím. Dobře. Víme, že je to pravoúhlý trojúhelník, víme, že tohle je 45 °. Jaká je délka přepony? Toto je jednotková kružnice. Její poloměr je 1. Délka přepony je tedy 1. Co víme o tomto úhlu? Víme, že také musí mít 45 °, neboť všechny úhly musí dát součet 180 °. Jelikož tyhle dva úhly jsou stejné, víme, že i tyto dvě strany budou stejné. Teď můžeme použít Pythagorovu větu k zamyšlení se o délce těchto stran. Takže za pomoci Pythagorovy věty, jaká je délka těchto stran, jsou-li obě stejné? Má-li tato strana délku 'a', tato bude mít také délku 'a'. A můžeme použít Pythagorovu větu. A můžeme říct, 'a na druhou' plus 'a na druhou' se rovná přepona na druhou. A ta se rovná 1. Nebo 2 krát 'a na druhou' je 1, 'a na druhou' je (1 lomeno 2). Obě strany odmocněte. 'a' je odmocnina z (1 lomeno 2), což je 1 lomeno (odmocnina ze 2). Jmenovatele můžeme racionalizovat vynásobením (odmocnina ze 2) lomeno (odmocnina ze 2), což nám dá v čitateli odmocninu ze 2 a v jmenovateli (odmocnina ze 2) krát (odmocnina ze 2), což se rovná 2. Takže toto je (odmocnina ze 2) lomeno 2 a toto je to samé. Tato délka se rovná (odmocnina ze 2) lomeno 2 a tato výška je také (odmocnina ze 2) lomeno 2. Na základě toho, jaké jsou souřadnice zde? Je to (odmocnina ze 2) lomeno 2 kladným směrem. Takže 'x' je (odmocnina ze 2) lomeno 2. 'y' je (odmocnina ze 2) lomeno 2 směrem nahoru, kladným vertikálním směrem. Je to také (odmocnina ze 2) lomeno 2. cosθ je jednoduše souřadnice 'x', což je (odmocnina ze 2) lomeno 2 sinθ je souřadnice 'y'. Ihned vidíte, že se v tomto bodě rovnají. V tomto bodě jsou tedy obě rovny (odmocnina ze 2) lomeno 2. Co teď s tímto bodem, který se zdá být mezi π a (3π lomeno 2)? Takže to bude… Toto je π a toto je (3π lomeno 2). Přesně tady. Je to (π lomeno 4) plus π. (π lomeno 4) plus π je stejné jako (4π lomeno 4) plus (π lomeno 4). To je tedy úhel (5π lomeno 4). Je to (5π lomeno 4). (5π lomeno 4). To je to, co hledáme. Jaké je hodnota těchto funkcí v bodě θ je (5π lomeno 4)? Je několik způsobů, jak o tom přemýšlet. Můžeme využít něčeho z geometrie, abychom řekli, že je-li toto úhel 45 °, pak toto je také úhel 45 °. Jde o vrcholové úhly. Také má 45 °. Mohli bychom udělat velmi podobnou věc Můžeme nakreslit pravoúhlý trojúhelník. Víme, že přepona je 1. Víme, že když je toto pravý úhel, toto je 45 °. Je-li toto 45 °, pak je toto také 45 °. Dostaneme tak velice podobný trojuhelník. Popravdě jde o shodné trojuhelníky. Přepona je tedy 1, úhly jsou 45 °, 45 ° a 90 °. Víme, že délka této strany je (odmocnina ze 2) lomeno 2. Délka této strany je stejná. Ten stejný důvod jako zde. Na zakladě toho, jaké jsou souřadnice tohoto bodu? Zamysleme se tedy nad hodnotou 'x'. Ta je (odmocnina ze 2) lomeno 2 v záporném směru. Musíme jít o tu vzdálenost nalevo od počátku. Takže to bude -(odmocnina ze 2) lomeno 2. Tento bod na ose 'x' je -(odmocnina ze 2) lomeno 2. A co hodnota 'y'? Musíme jít (odmocnina ze 2) lomeno 2 směrem dolů od počátku. To je také -(odmocnina ze 2) lomeno 2. cosθ je tedy -(odmocnina ze 2) lomeno 2 a sinθ je také -(odmocnina ze 2) lomeno 2. Vidíme tedy, že tady skutečně máme stejné hodnoty pro cosθ i pro sinθ. Obě se v tom bodě rovnají -(odmocnina ze 2) lomeno 2