Použití součtových vzorců: manipulace s výrazy

Kosinus dvou théta se rovná C a théta nabývá hodnot mezi 0 a pí. Napište vzorec pro sinus théta s pomocí C Nyní na chvíli pozastavte video a pokuste se tuto úlohu vyřešit sami. Potom si ji rozebereme společně. Takže teď, když jste to zkusili, si pojďme tuto úlohu vyřešit společně. Otevřu si tu svůj poznámkový blok, do kterého jsem si zkopíroval zadání. Pojďme se nad ním zamyslet. V zadání máme, že se kosinus dvou théta rovná C, což si zapíšu takto: C je rovno kosinu 2 théta. Následně díky tomu, že známe součtové vzorce, víme například to, že kosinus alfa plus beta je rovno kosinus alfa krát kosinus beta minus sinus alfa krát sinus beta. Jak nám tento vzorec pomůže vyřešit tuto úlohu? Náš úhel je prostý součet théta plus théta, takže to celé mohu vyjádřit pomocí kosinů a sinů. Možná vlastně mohu navíc kosiny vyjádřit pomocí sinů a následně vyřešit siny. Pojďme to zkusit. Takže mohu vyjádřit kosinus 2 théta jako kosinus théta plus théta, což je přirozeně to samé jako 2 théta. A nyní mohu použít tento součtový vzorec pro kosinus. To se bude rovnat kosinus théta krát kosinus théta minus sinus théta krát sinus théta. To se samozřejmě rovná kosinus na druhou théta minus to, co máme vyjádřeno zde, tedy sinus na druhou théta. Jak vidíme, vyjádřili jsme C jako kosinus na druhou théta a sinus na druhou théta. Ještě to ale celé chceme vyjádřit pomocí sinu, abychom to poté mohli vyřešit. Podívejme se, zda můžeme vyjádřit kosiny pomocí sinů. Známe již z takzvané goniometrické jedničky, že se kosinus na druhou théta plus sinus na druhou théta rovná jedné. To znamená, že kosinus na druhou théta je roven... ...a zde jen odečtu sinus na druhou na obou stranách... ...jedna minus sinus na druhou théta. Zde tedy lze vyjádřit vztah jako jedna minus sinus na druhou théta a pak ještě minus toto, žluté sinus na druhou théta. A to celé se rovná C, neboli C je rovno 1 minus 2 sinus na druhou théta. Díky tomuto získáme rovnici, ve které nám stačí vyřešit sinus théta. Zde bychom mohli vynásobit obě strany minus 1, a tím změnit pořadí těchto dvou výrazů. Napišme si to tedy jako minus C se rovná 2 sinus na druhou théta minus 1, čímž jsem provedl násobení obou stran minus 1. Teď můžeme přičíst 1 ke každé straně rovnice a vyjde nám, že 1 minus C je rovno 2 sinus na druhou théta. Když vydělíme obě strany 2, získáme, že se sinus na druhou théta rovná 1 minus C lomeno 2, což je stejné jako sinus théta se rovná plus minus druhá odmocnina z 1 minus C, to celé děleno 2. Tím se nám ale otevírají dvě otázky. Je to zároveň plus i minus druhá odmocnina? Nebo je to jen jedna z nich? Pokud stále váháte nad odpovědí, video si opět zastavte a v zadání se pokuste najít pomocnou informaci, zda máme zvažovat kladné či záporné znaménko. A vidíme, že v zadání je určeno, že théta leží mezi 0 a pí. Nakreslíme si pro názornost jednotkovou kružnici mezi 0 a pí radiány. Tento uhel je nula radiánů a pí je až potud. Výsledný úhel se tedy musí nacházet v prvním nebo druhém kvadrantu. Mohl by to tudíž být takovýto úhel nebo takovýto úhel, ale nemůže to být takovýto úhel. My víme, že sinus úhlu je rovný jeho y-ové souřadnici, A víme také, že pro první i pro druhý kvadrant bude 'y' nezáporné. Tím pádem zde musíme zvažovat pouze kladnou druhou odmocninu. Získáme, že se sinus théta rovná kladné odmocnině 1 minus C, to celé lomeno 2. Vraťme se k zadání a ověřme si získaný výsledek. Sinus théta se rovná druhé odmocnině z 1 minus C, to celé lomeno 2. A máme to správně.