Důkaz součtového vzorce u sinu

V tomto videu bych rád dokázal součtový vzorec sinu. Ten nám říká, že sinus součtu 'x' plus 'y' je roven sinus 'x' krát kosinus 'y' plus kosinus 'x' krát sinus 'y'. Důkaz bych chtěl provést s pomocí tohoto náčrtku. Můžeme si všimnout, že obsahuje tento červený pravoúhlý trojúhelník. Ten má přeponu rovnou 1. Tento trojúhelník můžeme pojmenovat též ADC. Základna tohoto trojúhelníku je zároveň přepona trojúhelníku ABC. Tento trojúhelník si vyznačím pro změnu modře, protože obsahuje úhel 'y', který jsem si již dopředu označil modrou barvou. Tedy to uspořádání je takové, že úsečka AC je zároveň základna ADC a přepona ABC. ACD je jakoby položený na ABC. Pojďme se nejdříve podívat na to, co chceme řešit. Čemu se na našem náčrtku bude rovnat sinus ('x' plus 'y')? Součet 'x' plus 'y' odpovídá celému tomuto úhlu. A pokud si vezmeme trojúhelník ADF... ...víme, že sinus úhlu je definován jako protilehlá odvěsna ku přeponě. V našem případě je přepona rovna 1. Sinus tohoto úhlu je protilehlá odvěsna lomeno 1. Tedy sinus tohoto úhlu je roven délce této protilehlé strany. Sinus ('x' plus 'y') je tedy roven délce úsečky DF. Takže teď bude naším úkolem najít délku úsečky DF. Tuto délku lze ale ještě rozložit na dvě menší části. Konkrétně ji můžeme rozložit na délku úsečky DE a délku úsečky EF. Můžeme tedy napsat, že DF, což je to samé jako sinus ('x' plus 'y'), že délka úsečky DF je rovna délka úsečky DE plus délka úsečky EF. Délka úsečky EF je zároveň rovna délce úsečky CB. Útvar ECBF je obdélník, a proto je EF stejně dlouhé jako CB. Tedy náš výraz se dále bude rovnat součtu délky úsečky DE a délky úsečky CB. Znovu to zopakuji, sinus ('x' plus 'y') je stejné jako délka strany DF. DF může být rozloženo na součet délek úseček DE a CB. Toto je důležité vodítko. Potřebujeme najít délku úsečky DE v závislosti na úhlech 'x' a 'y' a jejich sinech a kosinech. A to samé potřebujeme zjistit i pro délku úsečky CB. Zkuste si sami zjistit, co nejvíce to jde o našich útvarech a to vám pomůže dál. Předpokládám teď, že jste si to vyzkoušeli. Již víme, že sinus ('x' plus 'y') může být vyjádřeno tímto způsobem. Proto se tyto délky budeme snažit nějak vyjádřit. Udělám to tak, abych použil co nejvíce stran a úhlů z našeho náčrtku. Začněme s vrchním červeným trojúhelníkem. Jeho přepona má délku 1. Jaká je ale délka strany DC? Vzhledem k úhlu 'x' se jedná o protilehlou odvěsnu. Proto použiji sinus, sinus 'x' je rovno DC lomeno 1, což se rovná DC. K této straně proto napíši sinus 'x'. Analogicky toto můžu udělat pro stranu AC. Kosinus 'x' je roven délce strany AC ku přeponě, ta je rovna 1, takže je to jen AC. Tedy délka strany AC je to samé jako kosinus 'x'. To je zajímavá věc. Co dokážeme zjistit o spodním trojúhelníku, ACB? Jak zjistíme délku strany CB? Čemu bude roven sinus 'y'? Je roven délce úsečky CB lomeno přepona, která je rovna zde kosinus 'x'. Teď už možná vidíte, kam to celé směřuje. Kdykoli dostanete nápad, zastavte si video a zkuste důkaz dokončit sami! Když obě strany rovnice vynásobíme kosinem 'x', dostaneme délku strany CB. Délka úsečky CD je rovna kosinus 'x' krát sinus 'y'. To se nám perfektně hodí. Právě jsme tím teď ukázali, že tento člen se rovná tomuto členu. Máme tedy půlku práce za sebou. Ještě musíme dokázat, že tento člen je roven tomuto. Pokud se toto, rovná tomuto a tohle tomuto, tak máme hotovo. Už víme, že tento součet je roven délce DF a to se rovná sinus ('x' plus 'y'). Pojďme se podívat, zda dokážeme vyjádřit délku úsečky DE. Který úhel by nám mohl pomoci? Mohl by to být tento nahoře nebo možná tento. Pojďme se pokusit zjistit velikost tohoto úhlu. Mohli bychom s ním vyjádřit délku DE v závislosti na tomto sinu 'x'. Pojďme ten úhel zjistit. Víme, že tady máme úhel 'y'. Také víme, že tady máme pravý úhel. Úsečka EC je rovnoběžná s úsečkou AB. Na úsečku AC se potom můžeme dívat jako na příčnou. Tedy pokud toto je úhel 'y', tak potom tohle musí být také úhel 'y'. Pokud je totiž úsečka AC příčná přes rovnoběžné úsečky EC a AB, tak potom tento i tento úhel mají stejnou velikost a označím je 'y'. Dále pokud tohle je 'y', potom tohle musí být 90 minus 'y'. Pokud tento úhel má 90 stupňů a tento 90 minus 'y', potom tyto dva úhly po sečtení dají 180 stupňů minus 'y'. Úhly v trojúhelníku dávají vždy po sečtení 180. Proto tento úhel musí být také 'y'. Kontrola: 'y' plus 90 plus 90 minus 'y' dává opravdu 180 stupňů. To se nám ale ohromně hodí. To proto, že můžeme délku úsečky DE vyjádřit v závislosti na 'y' a sinu 'x'. V jakém vztahu je odvěsna DE k úhlu 'y'? Je to přilehlá odvěsna, proto použijeme kosinus. Víme, že kosinus úhlu 'y' v trojúhelníku DEC se rovná délce úsečky DE ku přeponě. Přepona je v tomto případě rovna sinus 'x'. Pomalu už bychom měli začít slavit, protože jsme právě ukázali, že... ...pokud teď vynásobím obě strany sinem 'x', tak uvidíme, že DE je roven sinus 'x' krát kosinus 'y'. Tím jsme ukázali, že tento člen je shodný s tímto členem. Zároveň už máme též dokázáno, že tento člen se rovná tomuto. Součet délek stran DE a CB, což je to samé jako součet DE a EF, se rovná sinus ('x' plus 'y'), jehož vzoreček je rozepsán zde. A máme hotovo. Dokázali jsme platnost součtového vzorce pro sinus.