V tomto videu bych rád
dokázal součtový vzorec sinu. Ten nám říká, že sinus součtu 'x' plus 'y'
je roven sinus 'x' krát kosinus 'y' plus kosinus 'x'
krát sinus 'y'. Důkaz bych chtěl provést
s pomocí tohoto náčrtku. Můžeme si všimnout, že obsahuje
tento červený pravoúhlý trojúhelník. Ten má přeponu
rovnou 1. Tento trojúhelník můžeme
pojmenovat též ADC. Základna tohoto trojúhelníku je
zároveň přepona trojúhelníku ABC. Tento trojúhelník si
vyznačím pro změnu modře, protože obsahuje úhel 'y', který jsem
si již dopředu označil modrou barvou. Tedy to uspořádání je takové, že úsečka
AC je zároveň základna ADC a přepona ABC. ACD je jakoby
položený na ABC. Pojďme se nejdříve podívat
na to, co chceme řešit. Čemu se na našem náčrtku bude
rovnat sinus ('x' plus 'y')? Součet 'x' plus 'y' odpovídá
celému tomuto úhlu. A pokud si vezmeme
trojúhelník ADF... ...víme, že sinus úhlu je definován jako
protilehlá odvěsna ku přeponě. V našem případě je
přepona rovna 1. Sinus tohoto úhlu je
protilehlá odvěsna lomeno 1. Tedy sinus tohoto úhlu je roven
délce této protilehlé strany. Sinus ('x' plus 'y') je tedy
roven délce úsečky DF. Takže teď bude naším úkolem
najít délku úsečky DF. Tuto délku lze ale ještě
rozložit na dvě menší části. Konkrétně ji můžeme rozložit na délku
úsečky DE a délku úsečky EF. Můžeme tedy napsat, že DF,
což je to samé jako sinus ('x' plus 'y'), že délka úsečky DF je rovna délka
úsečky DE plus délka úsečky EF. Délka úsečky EF je zároveň
rovna délce úsečky CB. Útvar ECBF je obdélník, a proto
je EF stejně dlouhé jako CB. Tedy náš výraz se dále bude rovnat součtu
délky úsečky DE a délky úsečky CB. Znovu to zopakuji, sinus ('x' plus 'y')
je stejné jako délka strany DF. DF může být rozloženo na
součet délek úseček DE a CB. Toto je
důležité vodítko. Potřebujeme najít
délku úsečky DE v závislosti na úhlech 'x' a 'y'
a jejich sinech a kosinech. A to samé potřebujeme
zjistit i pro délku úsečky CB. Zkuste si sami zjistit, co nejvíce to jde
o našich útvarech a to vám pomůže dál. Předpokládám teď,
že jste si to vyzkoušeli. Již víme, že sinus ('x' plus 'y') může
být vyjádřeno tímto způsobem. Proto se tyto délky budeme
snažit nějak vyjádřit. Udělám to tak, abych použil co
nejvíce stran a úhlů z našeho náčrtku. Začněme s vrchním
červeným trojúhelníkem. Jeho přepona
má délku 1. Jaká je ale
délka strany DC? Vzhledem k úhlu 'x' se jedná
o protilehlou odvěsnu. Proto použiji sinus, sinus 'x' je rovno
DC lomeno 1, což se rovná DC. K této straně proto
napíši sinus 'x'. Analogicky toto můžu
udělat pro stranu AC. Kosinus 'x' je roven délce strany
AC ku přeponě, ta je rovna 1, takže je
to jen AC. Tedy délka strany AC je
to samé jako kosinus 'x'. To je zajímavá věc. Co dokážeme zjistit
o spodním trojúhelníku, ACB? Jak zjistíme
délku strany CB? Čemu bude
roven sinus 'y'? Je roven délce úsečky CB lomeno
přepona, která je rovna zde kosinus 'x'. Teď už možná vidíte,
kam to celé směřuje. Kdykoli dostanete nápad, zastavte
si video a zkuste důkaz dokončit sami! Když obě strany rovnice vynásobíme
kosinem 'x', dostaneme délku strany CB. Délka úsečky CD je rovna
kosinus 'x' krát sinus 'y'. To se nám
perfektně hodí. Právě jsme tím teď ukázali, že tento
člen se rovná tomuto členu. Máme tedy půlku
práce za sebou. Ještě musíme dokázat, že
tento člen je roven tomuto. Pokud se toto, rovná tomuto a
tohle tomuto, tak máme hotovo. Už víme, že tento součet je roven délce
DF a to se rovná sinus ('x' plus 'y'). Pojďme se podívat, zda
dokážeme vyjádřit délku úsečky DE. Který úhel by
nám mohl pomoci? Mohl by to být tento nahoře
nebo možná tento. Pojďme se pokusit zjistit
velikost tohoto úhlu. Mohli bychom s ním vyjádřit délku
DE v závislosti na tomto sinu 'x'. Pojďme ten
úhel zjistit. Víme, že tady
máme úhel 'y'. Také víme, že tady
máme pravý úhel. Úsečka EC je rovnoběžná
s úsečkou AB. Na úsečku AC se potom
můžeme dívat jako na příčnou. Tedy pokud toto je úhel 'y', tak
potom tohle musí být také úhel 'y'. Pokud je totiž úsečka AC příčná
přes rovnoběžné úsečky EC a AB, tak potom tento i tento úhel mají
stejnou velikost a označím je 'y'. Dále pokud tohle je 'y', potom
tohle musí být 90 minus 'y'. Pokud tento úhel má 90
stupňů a tento 90 minus 'y', potom tyto dva úhly po sečtení
dají 180 stupňů minus 'y'. Úhly v trojúhelníku
dávají vždy po sečtení 180. Proto tento úhel
musí být také 'y'. Kontrola: 'y' plus 90 plus 90 minus
'y' dává opravdu 180 stupňů. To se nám ale
ohromně hodí. To proto, že můžeme délku úsečky DE
vyjádřit v závislosti na 'y' a sinu 'x'. V jakém vztahu je
odvěsna DE k úhlu 'y'? Je to přilehlá odvěsna,
proto použijeme kosinus. Víme, že kosinus úhlu 'y' v trojúhelníku
DEC se rovná délce úsečky DE ku přeponě. Přepona je v tomto
případě rovna sinus 'x'. Pomalu už bychom
měli začít slavit, protože jsme
právě ukázali, že... ...pokud teď vynásobím
obě strany sinem 'x', tak uvidíme, že DE je
roven sinus 'x' krát kosinus 'y'. Tím jsme ukázali, že tento člen
je shodný s tímto členem. Zároveň už máme též dokázáno,
že tento člen se rovná tomuto. Součet délek stran DE a CB,
což je to samé jako součet DE a EF, se rovná sinus ('x' plus 'y'),
jehož vzoreček je rozepsán zde. A máme
hotovo. Dokázali jsme platnost
součtového vzorce pro sinus.