If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:02

Transkript

Minule jsme provedli důkaz součtového vzorce pro sinus. Asi vás napadlo, že to samé bychom mohli udělat s kosinem. Konkrétně chci dokázat, že se kosinus součtu 'x' plus 'y' se rovná kosinus 'x' krát kosinus 'y' minus... ...čili pokud zde máme plus, tak tady budeme mít minus... ... minus sinus 'x' krát sinus 'y'. Použiji velice podobný způsob, kterým jsem toto dokazoval pro sinus. Pozastavte si video, a to buď teď nebo kdykoliv se na to budete cítit, a zkuste si tento důkaz udělat sami. Stejně jako jsme přemýšleli nad sinem, čemu se rovná kosinus součtu 'x' plus 'y' na našem nákresu? Inu, 'x' plus 'y'´ je tento úhel. Pokud se podíváme na pravoúhlý trojúhelník ADF, vidíme, že kosinus našeho součtu je roven přiléhající odvěsně ku přeponě, tedy konkrétně straně AF ku přeponě. A jelikož má přepona délku 1, bude AF lomeno přepona rovno AF. Kosinus součtu 'x' plus 'y' je roven délce úsečky. Tedy délce úsečky AF. Takže toto je vlastně rovno tomuto výrazu. Pro jistotu to přepíšu; zkopíruji a vložím. Délku úsečky AF můžu vyjádřit jako kosinus ('x' plus 'y'). Pojďme se teď zamyslet, jak tento výraz získáme. Rád bych se k němu dostal tak, že jej, nebo úsečku AF, vyjádřím pomocí ostatních trojúhelníků v našem náčtrtku. Napsal bych to takhle. Tady to, což je to samé, co AF, se rovná délce úsečky AB... ...což je tato úsečka... minus délka úsečky FB. Tedy délka této úsečky minus délka úsečky FB. Už jen z toho, jak vypadá vzorec pro součet kosinu, by se asi dalo uhodnout, co z toho bude AB a co bude FB. Dokážeme-li, že AB je rovno tomuto výrazu a FB tomuto, tak jsme hotovi. Protože víme, že kosinus ('x' plus 'y'), což je AF, je rovno AB minus FB. Tedy stačí dokázat, že se rovnají první i druhé členy. Co vlastně tyto výrazy představují? Co je AB? Podívejme se na pravoúhlý ACB. Z předchozího videa víme, že když má trojúhelník ADC délku přepony 1, tato délka je 1, potom délka AC je rovna kosinu 'x'. Co je AB? Zamysleme se nad tím. AB je přilehlá k úhlu, který má velikost 'y'. Mohli bychom říct, že kosinus... ...radši to napíšu sem.... Mohli bychom říct, po prohlédnutí grafu, že kosinus 'y' je roven délce přilehlé strany. Tedy je to úsečka AB ku přeponě tedy ku kosinu 'x'. Pokud vynásobíme obě strany kosinem 'x'. Dostaneme, že délka úsečky AB je rovna kosinus 'x' krát kosinus 'y'. Což je přesně to, co jsme chtěli dokázat. Dokázali jsme, že délka úsečky AB je rovna kosinus 'x' krát kosinus 'y'. Tohle celé se rovná kosinus 'x' krát kosinus 'y'. Teď už jenom musíme dokázat, že délka úsečky FB je rovna sinus 'x' krát sinus 'y'. Tohle trochu vypadá jako divná úsečka, není součástí žádného mnou načrtnutého pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém známe úhly. Z nákresu je ale vidět, že ECBF je obdélník. Toto jsme použili i u důkazu pro součtový vzorec sinu. Použijeme ho také zde, protože nám to říká, že FB je to samé co EC. Čemu se EC rovná? Tady máme náš úhel 'y'. Tahle strana je protilehlá vůči úhlu 'y'. Proto budeme chtít použít sinus. Víme, že sinus 'y'... ...koukám se přímo sem... je roven délce protilehlé strany, což je délka strany EC ku přeponě. A přepona je rovna sinus 'x'. To jsme vydedukovali v předchozím videu. Je-li toto 'x', protilehlá ku přeponě je sinus 'x'. A protilehlá je pouze jedna, a ta se rovná sinu 'x'. Obě strany rovnice vynásobíme sinem 'x' a dostaneme to, co hledáme. Délka úsečky EC je rovna sinus 'x' krát sinus 'y'. Ještě zopakuji, že EC je úplně to samé, tedy má stejnou délku jako úsečka FB. Takže jsme ukázali, že úsečka FB je rovna sinus 'x' krát sinus 'y'. Toto je rovno tomuto výrazu. Kosinus ('x' plus 'y'), který je shodný s délkou úsečky AF, je roven délce úsečky AB minus délka úsečky FB, My jsme si dnes dokázali, že délka úsečky AB je rovna kosinus 'x' krát kosinus 'y'. A že délka úsečky FB odpovídá součinu sinus 'x' krát sinus 'y'. A jsme hotovi!