Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "čtverce". Například napiš x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
V tomto článku se naučíš, jak lze pomocí speciálních vzorečků rozložit tzv. trojčlenné čtverce. Jde o opak mocnění dvojčlenů na druhou, což bys měl raději zcela umět předtím, než budeš pokračovat ve čtení.

Úvod: Rozkládání trojčlenných čtverců

Chceme-li umocnit jakýkoliv dvojčlen, můžeme použít jeden z následujících vzorců.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Povšimni si, že v těchto vzorcích mohou být a a b libovolné algebraické výrazy. Řekněme, že chceme umocnit například (x+5)2. V takovém případě a=x a b=5, takže dostáváme:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Správnost použitého vzorce si můžeš ověřit tak, že k umocnění (x+5)2 použiješ násobení.
Obrácení tohoto postupu je určitým typem rozkladu na součin. Pokud předchozí rovnosti napíšeme v obráceném sledu, dostaneme vzorce pro rozklad mnohočlenů ve tvaru a2±2ab+b2 na součin.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
K rozkladu x2+10x+25 můžeme použít první vzorec. V tomto případě máme a=x a b=5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Výrazy tohoto tvaru nazýváme trojčlenné čtverce. Jejich jméno značí, že jde o trojčlenné mnohočleny, které lze napsat jako nějaký výraz umocněný na druhou (takové výrazy se někdy označují právě slovem "čtverec").
Pojďme se podívat na pár příkladů, v nichž budeme rozkládat trojčlenné čtverce pomocí těchto vzorců.

Příklad 1: Rozklad x2+8x+16 na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny: x2=(x)2 a 16=(4)2. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2(x)(4)=8x.
To znamená, že náš mnohočlen je trojčlenným čtvercem, takže k rozkladu na součin můžeme použít následující vzorec:
a2+2ab+b2 =(a+b)2
V našem případě a=x a b=4. Náš mnohočlen tak na součin rozložíme následovně:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním (x+4)2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož x2+6x+9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x26x+9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

3) Rozlož x2+14x+49 na součin.

Příklad 2: Rozklad 4x2+12x+9 na součin.

Vedoucí koeficient trojčlenného čtverce nemusí být nutně roven 1.
Například si všimni, že v trojčlenu 4x2+12x+9 jsou první a poslední člen druhými mocninami: 4x2=(2x)2 a 9=(3)2. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2(2x)(3)=12x.
Protože trojčlen splňuje obě výše uvedené podmínky, 4x2+12x+9 je trojčlenným čtvercem. Následující vzorec pro rozklad na součin tak můžeme opět použít.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
V našem případě a=2x a b=3. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním (2x+3)2:

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož 9x2+30x+25 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 4x220x+25 na součin.

Těžší příklady

6*) Rozlož x4+2x2+1 na součin.

7*) Rozlož 9x2+24xy+16y2 na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.