Slovní úlohy na porovnávání lineárních funkcí: natěrači

Martin a Jirka jsou dva natěrači mostů. Včera natřeli kus mostu a dnes v natírání pokračují. Délka mostu, kterou natřel Martin, je dána rovnicí m se rovná 1 třetina t plus 5, kde m je délka mostu natřená Martinem v metrech po uplynutí času t v hodinách. Jirka začal natírat ve stejný čas jako Martin a také natírá konstantní ryhlostí. Délka mostu, kterou natřel, je zapsána v následující tabulce. Kdo měl ráno před začátkem dnešní práce natřenou větší část mostu? Máme tady dva natěrače, Martina a Jirku, ti včera natřeli kus mostu a dneska v tom natírání pokračují. Martin natírá podle rovnice m se rovná 1 třetina t plus 5 a u Jirky máme zadanou tabulku, kde vidíme, že po šesti hodinách má natřeno 6 metrů mostu, po osmi hodinách 7 metrů mostu a po deseti hodinách 8 metrů mostu. Ptají se nás, kdo měl ráno před začátkem té dnešní práce natřenou větší část mostu ze včerejška, jak tady píšou, že včera natřeli kus a dnes pokračují. Ráno před začátkem dnešní práce, to zjistíme jak? Zjistíme to tak, že je to vlastně hodnota té délky mostu v čase t se rovná nula. Protože je to ještě před začátkem práce po uplynutí nula hodin. U Martina je to tedy jednoduché, stačí, když dosadíme do této rovnice, t se rovná 0. m se rovná 1 třetina t, tedy 0, plus 5. 1 třetina krát nula, to je nula, plus 5 se rovná 5. Martin tedy ráno před začátkem práce měl natřeno 5 metrů mostu ze včerejška. To bylo jednoduché. Jak to ale uděláme u Jirky? U Jirky nemáme jen tak rovnici, ale máme tabulku. Tak co kdybychom tu tabulku si tady přepsali dolů a pokusili se jít zpátky podle těch údajů až do času t se rovná 0. Takže si tady napíšeme čas t a teď délku mostu, když Martin má m, tak Jirka bude mít j, dáme si tady takovou a la tabulku. My víme, že v čase 6 měl Jirka natřeno 6 metrů mostu. V čase 8 to bylo 7 metrů mostu a v čase 10 to bylo 8 metrů mostu. Podíváme se, jak se nám mění ta natřená délka mostu během toho času. Kdykoli tady uběhnou 2 hodiny, čas t se zvýší o 2, tak se j zvýší o 1. Za 2 hodiny nám přibude 1 natřený metr. Je tady napsáno, že natírá konstantní rychlostí, ale můžeme si to ověřit. Tady opět o 2 hodiny více a zase máme natřeno o 1 metr více. Teď takhle můžeme jít i pozpátku. Když tedy naopak půjdeme zpátky o 2 do času 4, tak tady musíme jít zpátky o 1, do čísla 5, kdy bylo natřeno 5 metrů. A budeme obdobně postupovat ještě dál, zase o 2 zpátky a dole o 1 do minusu a konečně se tedy dostáváme do času 0, jak jsme přesně chtěli, a tady jdeme zase o 1 do minusu k číslu 3. Takže vidíme, že v čase 0 měl Jirka natřené 3 metry mostu. Tedy ráno před začátkem té dnešní práce měl ze včerejška natřené 3 metry mostu. Což je rozhodně méně než Martin, takže už teď můžeme odpovědět na otázku, kdo měl ráno před začátkem práce natřenou větší část mostu, víme, že Martin. Dá se to ale udělat i jiným způsobem. Můžeme si pro Jirku vytvořit obdobnou rovnici, jako má Martin, a do té zase dosadit čas t se rovná 0. Tak si pojďme ukázat i tento způsob. Tato rovnice je vlastně ve směrnicovém tvaru, takže pro Jirku bude vypadat takto, j se rovná k, to je nějaká směrnice, tedy délka toho mostu, která je natřená, za nějaký čas, krát to t, ten čas, plus q, což je ta délka mostu, která byla natřená ještě před začátkem dnešní práce. Prvně se podívejme na tu směrnici. Jak už jsem řekla, je to vlastně délka, která byla natřená za nějaký čas. V tomto případě to bude za nějaký čas, tedy změna t, delta t, a metry natřeného mostu. My víme, už jsme si to říkali, že vlastně pokaždé, když uběhnou 2 hodiny, tak Jirka natře 1 metr mostu. A ta směrnice je tedy rovná 1 polovině. Takže si to sem můžeme dosadit, j se rovná 1 polovina t plus q. A jak teď přijdeme na to q? Jednoduše. Můžeme si do této rovnice dosadit jeden z těchto bodů. Protože všechny tyto body musí vyhovovat této rovnici. Tak si vybereme třeba 6 a 6, to je takový hezký bod, 6 se rovná 1 polovina, t je také 6, krát 6, plus q. 6 se rovná 3 plus q, když od obou stran rovnice odečteme 3, dostaneme, že 3 se rovná q. A teď to můžeme zase zpátky dosadit do tady tohoto a budeme mít hotovou rovnici. Napíšeme si ji sem k Jirkovi. j se rovná 1 polovina t plus 3. To je rovnice pro Jirku. Když bychom si tady teď dosadili tedy t se rovná 0, dostaneme, že j se rovná 1 polovina krát 0, což je 0 plus 3, tedy j se rovná 3, což je přesně to, co jsme spočetli už tady, že Jirka měl před začátkem dnešní práce natřené 3 metry mostu.